CHAPITRE III. — CONÔJDfc

parallèle au plan directeur Q du paraboloïdc, et par conséquent perpendiculaire au plan R que nous considérons comme horizontal (art. 605). La ligne de terre AYCr, intersection des plans R et U, est parallèle à YZ,. L'enveloppe ïf des projections orthogonales des génératrices sur le plan U est la projection de la ligne de striction du système Q.

La ligne de striction elle-même est une parabole située dans le plan diamétral conjugué aux cordes perpendiculaires au plan Q (art. 609). Les deux génératrices ab et eh qui se croisent au sommet 0" sont horizontales : la droite ae, perpendiculaire à YZ, et limitée à ces génératrices, est donc la projection d'une corde perpendiculaire à Q, et par conséquent son point milieu /appartient au plan de la ligne de striction; mais ce plan, étant diamétral, doit être perpendiculaire au plan R (art. 596); le point/appartient donc à sa trace sur R. Nous avons déterminé de la même manière un second point g de cette trace.

En relevant sur les droites AVDV et CB' les points * ety où la [race fg coupe les génératrices A"D" et CB", nous avons les extrémités *' ety7 de l'arc de la parabole représenté sur la projection U.

On obtiendrait de la même manière les projections de la ligne de striction du système P. Ces deux paraboles se croisent au sommet 0", car le plan tangent en ee point est perpendiculaire à l'axe, et par conséquent à chacun des plansdirecteurs.

Il résulte de la construction même que le plan de la parabole de striction du système P fait avec le plan directeur P le même angle que le plan de la parabole de striction Q avec le plan directeur Q, d'où Ton conclut que les plans principaux sont bissecteurs des plans des paraboles de striction , et que ces paraboles sont égales.

Si le paraboloide était isoscèle, les deux projections faites sur les plans P et Q seraient orthogonales, et par suite les génératrices qui se projettent aux points O et O7 couperaient respectivement à angle droit les génératrices»des systèmes P et Q; chacun de leurs points serait donc le point central de la génératrice sur laquelle il se trouve.

Nous voyons ainsi que les lignes de striction du paraboloide isoscèle sont les génératrices qui se croisent au sommet.

Plans tangents et lignes d'ombre.

644. Un conoïde étant donné par deux directrices A et B, et un plan directeur P (Jîg. 294), on obtient un paraboloide de raccordement le long d'une génératrice G, en prenant pour directrices les tangentes R et S, et le plan P pour plan directeur (art. 614). Pour construire le plan tangent II en un point [x de G, il suffit de connaître la génératrice du second système qui passe à ce point. On y parvient en déterminant d'abord une génératrice G' du premier système, et

l56 LIVRE VII. — SUBFACES GAUCHES

menant ensuite par [x un plan parallèle à R et à S; ce plan coupe la droite G' en un point /x' de la génératrice cherchée.

Si» au contraire, on veut connaître le point de contact d'un plan H contenant une génératrice G, après avoir construit comme précédemment une génératrice G', on cherchera son intersection jji' avec le plan donné. La génératrice du second système contenue dans le plan H passe par le point f/.' et est dans un plan parallèle aux tangentes R et S; on peut donc la déterminer : le point de contact jz est son point de rencontre avec G.

Nous allons développer les constructions que nous venons d'indiquer, en disposant les données de manière à simplifier le problème.

645. Nous prenons le plan directeur pour plan vertical, et nous supposons la surface déterminée par deux directrices planes A et B {fig. 297) situées dans des plans verticaux ooy et xKyK que nous supposons rabattus sur le plan horizontal. Le point pour lequel on doit construire le plan tangent est donné par sa projection horizontale f/..

La droite Jjx parallèle à la ligne de terre XY est la projection horizontale de la génératrice qui passe par le point considéré. Cette droite rencontre les directrices en des points dont les projections horizontales m et n font trouver les rabattements M etN; on détermine ensuite leurs projections verticales m' et ri (art. 59). La projection verticale /x' du point de la surface est sur la droite m! ri.

Le paraboloide qui a pour directrice les tangentes Me et NF des courbes À et fi aux points M et N, et pour plan directeur le plan vertical, se raccorde avec la surface le long de la génératrice (m/i, m! ri). Le plan horizontal étant perpendiculaire au plan directeur du premier système, les projections horizontales des génératrices du second système divergent d'un même point (art. 611); et, comme nous connaissons deux d'entre elles xy et xKy„ projections des tangentes directrices Me et NF, nous avons immédiatement le point de concours L et nous pouvons tracer la projection horizontale Lfxde la génératrice du second système qui passe par le point donné.

Le paraboloide coupe le plan vertical suivant la droite qui passe par les traces E' et C des tangentes directrices; la trace verticale de la génératrice Ljx est en G' sur cette ligne; il n'y a plus qu'à faire passer un plan par la droite (mn, m' ri) et par le point(G, G') : sa trace verticale est la droite l'K parallèle km' ri.

Les données peuvent être disposées d'une manière différente, mais les constructions devront toujours être établies sur les mêmes principes.

646. Si l'on demande le point de tangence d'un plan contenant une génératrice (mnf m' ri) et ayant une trace verticale l'K nécessairement parallèle à rn'ri, on déterminera comme précédemment la trace verticale E'C du paraboloide de raccordement qui a pour directrices les tangentes Me et NF, et pour plan directeur le plan vertical. L'intersection G' des droites E'C et l'K sera la trace de la