CHAPITRE III. — GONOIDE

seconde génératrice contenue dans le plan donné. On cherchera la projection horizontale GL de cette droite, et son intersection (/x, /x') avec la génératrice mn, m' ri) sera le point de contact demandé.

Cette construction donne un moyen facile d'obtenir la courbe d'ombre de la surface. Après avoir choisi un certain nombre de génératrices convenablement espacées» on détermine la trace l'K d'un plan passant par Tune d'elles (mn,m'ri) et par le point lumineux (S, S'), et l'on cherche son point de contact (fi, f//).On répète ensuite cette opération sur les autres génératrices.

647. La courbe d'ombre ne rencontre qu'à l'infini les génératrices dont les projections horizontales passent par le point S, car le plan qui contient une de ces droites et le point lumineux est parallèle au plan directeur, et par conséquent tangent à l'infini (art. 641).

La courbe a aussi des branches infinies correspondant aux arêtes et aux génératrices situées tout entières à l'infini.

Si la droite (mn, m' ri) était une arête, le paraboloïde de raccordement se transformerait en un plan, et sa trace E'C serait parallèle à la projection m' ri de la génératrice et a la trace TK du plan d'ombre; les points G', G et/x disparaîtraient donc a l'infini, comme cela doit être.

Lorsque le point lumineux est dans le plan tangent le long d'une arête, cette droite forme une branche de la courbe de contact. Nous examinerons plus loin ce cas intéressant (art. 828 et suiv.)

Quand les rayons de lumière sont parallèles entre eux, mais non au plan directeur, les plans d'ombre des génératrices ne peuvent pas être tangents à l'infini, et les arêtes sont les seules génératrices à distance finie qui ne rencontrent la courbe qu'à l'infini; elles lui sont d'ailleurs asymptotes (art. 635). On peut donc obtenir leur position d'une manière approximative en construisant avec soin l'ombre que projetterait sur un plan la surface éclairée par des rayons parallèles entre eux, mais non au plan directeur, et traçant les asymptotes de cette courbe. On peut aussi employer des courbes d'erreur disposées de diverses manières.

648. Pour déterminer les points d'un conoïde où le plan tangent est parallèle à un plan donné P, on construit le contour apparent de la surface sur le plan directeur pris pour plan de projection, et, menant à cette courbe des tangentes parallèles à la trace du plan P, on obtient les projections des génératrices parallèles à ce plan ; on fait passer par chacune d'elles un plan parallèle à P, et l'on cherche son point de contact.

Cylindroïde.

649. Considérons un cylindre parallèle à la ligne de terre XY (fig. 298), coupons-le par deux plans verticaux OP et Op; puis supposons que, la seconde section

restant immobile» la première (AG,A"G") s'élève parallèlement k elle-même, de manière que le point ( A, À") se place en (A, A') : si une droite mobile rencontre constamment les deux courbes en des points situés précédemment sur une même génératrice du cylindre, elle engendrera une surface que Frézier a appelée cylindroïde. Cette surface a quelques applications dans la coupe des pierres.

Les génératrices du cylindroïde sont parallèles au plan vertical, et d'ailleurs inégalement inclinées; cette surface est donc un conoïde (art. 640).

650. Tout plan passant par l'intersection des plans des directrices, tel que (0/, //'), coupe le cylindroïde et le cylindre primitif suivant deux courbes identiques, car un point (L, L") appartenant à une génératrice (B6, B"6') du cylindre est élevé de (L, L") en (L, L'), et Ton a

B"B' est égal a A" A' et le rapport g^ est constant pour les différentes génératrices; donc tous les points de la section faite dans le cylindre sont élevés d'une même hauteur, et la courbe est transportée sans altération.

Dan^ un cylindroïde elliptique (c'est celui qui résulte de la déformation d'un cylindre elliptique), toutes les sections faites par des plans passant par l'intersection des plans des directrices sont des ellipses. Sur la/ig. 298, la section droite du cylindre est le cercle ù rabattu sur le plan horizontal. Ce cercle nous a servi à construire et à diviser les ellipses directrices.

La seclion par le plan (01, oîiat), perpendiculaire à la ligne de terre, est identique avec le cercle il. Le segment oc\ a', limité au contour apparent, est donc égal au diamètre d\d', et ses extrémités oc\ et a! sont sur les génératrices d\D\ etrf'D'.

651. On peut obtenir la tangente au point L' de la section par le plan 0/, soit en construisant la tangente en L" à la section du cylindre par le même plan et l'élevant parallèlement à elle-même, soit en recourant au paraboloïde de raccordement déterminé par le plan directeur de la surface et par les tangentes des directrices aux points (B, B') et (&, h'). Dans la première méthode, nous construisons la trace horizontale Qq du plan tangent au cylindre le long de la génératrice Wb\ puis la trace verticale /" de la tangente au point L", et nous élevons l" en /' d'une hauteur égale à L"L'. Dans la seconde, nous remarquons que les projections horizontales des génératrices du deuxième système du paraboloïde passent toutes par le point 0, et que par suite celle de ces droites qui se projette sur 0/ est la tangente de la section. La trace verticale /' de cette droite est sur la trace Vp' du paraboloïde.

La position spéciale du plan sécant rend ainsi la construction de la tangente très-simple. Dans le cas général, il faudrait déterminer le plan tangent à la sur-