CHAPITRE JII. — OONOIDE. l5g
face (art. 645) et prendre ensuite son intersection avec le plan de la courbé.
652. Les sections du cylindroïde et du cylindre primitif par un plan vertical sont équivalentes, car les éléments dans lesquels on peut concevoir ces aires décomposées par des droites verticales infiniment rapprochées ne différent que de quantités infiniment petites d'un ordre élevé. Il suit de là que les sections du cylindroïde par des plans verticaux et parallèles sont équivalentes.
653. Sur le cylindre primitif» chaque génératrice est parallèle à la génératrice voisine; mais ces droites, étant inégalement distantes de la verticale du point 0, sont, après la déformation, inégalement inclinées; cependant la génératrice (Gg-, G' g*) et celle qui en est infiniment rapprochée sont à la même distance de cette verticale, et par suite elles restent parallèles sur le cylindroïde.
La droite (Gg, G' g') est donc une arête; il en de même de (Aaf A'a'). Ces génératrices forment le contour apparent de la surface sur le plan horizontal et sont asymptotes du contour apparent sur le plan vertical.
Les autres génératrices sont parallèles deux à deux de part et d'autre de chaque arête, et leurs intersections mutuelles déterminent une ligne double qui est la droite située à l'infini dans le plan directeur (art. 641). Les extrémités du segment utile de cette ligne sont sur les arêtes (art. 632).
En général, une surface a deux plans tangents en chaque point d'une ligne double; mais, dans le cas que nous examinons, deux génératrices parallèles sont telles, que le plan tangent au point de l'une situé à l'infini contient l'autre, parce qu'elles sont à la même distance du plan directeur. Il en résulte que la ligne double située à l'infini est une ligne de contact.
On peut rendre cette circonstance sensible en coupant le cylindroïde par un plan oblique sur le plan directeur et parallèle à deux génératrices qui seront, par exemple, ^ F' ei/,i Ft : la section aura deux branches infinies, et l'intersection du plan sécant par le plan vertical F/sera asymptote de ces deux branches.
La courbe de section de la surface par un plan contenant une génératrice a cette droite pour asymptote (').
Un cylindroïde n'a pas de sommets a distance finie, car si deux génératrices consécutives se coupaient, leurs homologues sur le cylindre se rencontreraient au point correspondant.
654. La ligne de striction contour apparent de la surface par rapport au plan vertical (art. 642) est facilement déterminée, sur ce plan, comme enveloppe des projections des génératrices. Pour avoir sa projection horizontale, il faut chercher par un paraboloïde de raccordement le point où le plan qui projette verticalement
( l ) On reconnaît facilement que le cylindroïde de la fig. 298 est une surface algébrique du quatrième ordre; chaque génératrice passe par conséquent par deux points doubles (art. C18). Ces points sont réunis l'un à l'autre à l'infini.
chaque génératrice considérée touche la surface. On pourrait, il est vrai, rapporter sur la projection horizontale de la génératrice le point où sa projection verticale est tangente à l'enveloppe, mais la position de ce point est trop incertaine pour que l'on puisse s'en servir si l'on veut mettre un peu d'exactitude dans les tracés.
Si nous considérons la génératrice (Ee, EV), nous remplacerons les deux directrices courbes par leurs tangentes (EP, E'P,), (ep9 e!p%). La trace du paraboloïde ainsi obtenu sur le plan vertical, qui est toujours plan directeur, sera la droite P^,. La génératrice du deuxième système contenue dans le plan projetant de la génératrice considérée a sa trace verticale à l'intersection f des droites Pf/>, et EV. Sa projection horizontale est déterminée par le point r et par le point de concours 0 des droites de ce système; le point jx, où elle rencontre la ligue Ee, est la projection horizontale du point où le plan qui projette la génératrice sur le plan vertical touche le paraboloïde, et par suite le cylindroïde. La ligne de striction a d'ailleurs deux branches infinies dont les arêtes sont les asymptotes; elle passe par les points (a, a'), (a, a\ ) : sa projection est la courbe jxa$...|3a€...7/i.
655. En général, pour déterminer le paramètre d'une génératrice d'une surface gauche, on cherche le point de contact d'un plan qui fait un angle de 45 degrés avec le plan central, et l'on détermine la vraie grandeur du segment compris entre ce point et le point central. Puis, si l'on veut avoir l'expression du paramètre, on fait la traduction analytique des constructions. Mais, dans le cas des conoïdes, le calcul peut se faire d'une manière directe et très-simple.
Appelant <y l'angle que fait avec le plan horizontal la génératrice considérée (B6, Wb') du cylindroïde, etp l'ordonnée OH qui est la distance de la génératrice à la verticale du point 0, nous aurons
B"B' À"A'xOa i tangcr = = _____
ou
tanga = £>
en représentant par g le premier facteur du second membre, qui est constant.
La distance de deux génératrices consécutives et leur angle sont les différentielles dp et de; le paramètre k étant le rapport de ces grandeurs infiniment petites (art. 624), on obtient par une différentiation
geos2*
enfin, éliminant <j entre ces deux équations,
