CHAPITRE 111. — CONOÏDE. l6l

On remarquera que le paramètre ne dépend pas de la forme des directrices, qu'il n'est jamais nul, et qu'il ne devient infini que quand une génératrice s'éloigne à l'infini. Sur notre cylindroïde il est toujours fini, et a cet égard les arêtes ne se distinguent des autres génératrices que parce que leur paramètre est un maximum ou un minimum.

D'après la convention faite à l'article 625, le paramètre d'une génératrice du cylindroïde représenté sur la fig. 298 est positif. Pour établir l'accord entre cette convention et la formule, il suffit de considérer les ordonnées Oa et A" A' comme positives, et la projection dD qui est dirigée de droite à gauche comme négative, car alors la longueur g sera négative.

656. Si le cylindre primitif était un plan P, le cylindroïde serait un paraboloïde dont le second plan directeur serait le plan P, et dont le sommet se projetterait horizontalement en 0; l'équation de l'article précédent est donc applicable au paraboloïde. Elle montre que toutes les génératrices d'un même système ont des paramètres de même signe, que celle de ces droites qui passe au sommet a le plus petit paramètre, et que deux génératrices situées de part et d'autre du sommet et à des dislances égales ont un même paramètre.

Conoïde oblique.

657. On appelle conoïde oblique le conoïde qui a une directrice rectiligne non perpendiculaire au plan directeur.

Un conoïde oblique étant déterminé par son plan directeur P et deux directrices D et C, dont la première est rectiligne, il est facile de voir que par chaque point de G passe une génératrice intersection de deux plans, l'un parallèle à P et l'autre contenant D : la directrice curviligne C ne peut donc avoir ni arc double ni arc parasite. Il suit de là qu'on peut prendre pour seconde directrice une courbe tracée sur la surface de manière à rencontrer toutes les génératrices et d'ailleurs quelconque. Nous choisirons pour directrice la trace de la surface sur un plan perpendiculaire au plan directeur, que nous supposerons horizontal.

658. Les directrices étant la droite (q¥, q'Y) et la courbe AB' située dans le plan vertical {fig. 296), on obtient des génératrices en coupant ces lignes par des plans horizontaux et joignant les points de section. Quand la trace du plan sécant est, telle que I'L'J', comprise entre les tangentes horizontales P'p' et Q'q', on trouve deux génératrices (LI, LT) et (LJ, L'J'); mais, si le plan était au-dessus du point F ou au-dessous de Q\ il ne contiendrait pas de génératrices : le segment [pq%pq') de la directrice rectiligne est donc seul utile, et par suite ses extrémités {p,p') et (q, q') sont des sommets.

Lorsqu'une génératrice se meut pour passer d'une position à la suivante, on II. 21

peut supposer qu'elle glisse sur la directrice rectiligne et sur la tangente k la directrice courbe, en restant d'ailleurs toujours horizontale. En général, elle s'élève ou elle s'abaisse, et par suite deux génératrices consécutives sont à des hauteurs différentes et ne se rencontrent pas. Mais, la tangente au point F étant horizontale, la génératrice passe de la position (Pp, P'p') à la suivante par un simple mouvement de rotation autour du point (p9 //), et par suite deux génératrices consécutives se coupent en ce point. On peut faire la même observation pour le sommet (q, q').

Quand la directrice rectiligne et la tangente de la directrice courbe sont dans un même plan, la génératrice reste parallèle à elle-même dans un mouvement infiniment petit, et dans le cas contraire elle décrit un élément gauche. On voit d'après cela que la tangente de la directrice courbe A'BT au point situé sur une arête doit rencontrer la directrice rectiligne (Fy,F'y')t ce qui exige qu'elle passe par sa trace verticale F'. Les génératrices (AM, A' M') et (BN, B'N'), qui rencontrent la courbe au point de contact des tangentes issues de F', sont donc des arêtes, et les seules arêtes que la surface puisse avoir.

659. Si au lieu d'une directrice courbe on donnait une surface à laquelle le conoïde dût être circonscrit, on obtiendrait des génératrices en faisant des sections par des plans horizontaux et menant à chacune d'elles des tangentes du point de son plan situé sur la directrice rectiligne.

En raisonnant comme précédemment, on reconnaît que les plans tangents horizontaux à la surface directrice contiennent les génératrices qui passent aux sommets et que les points de contact des plans tangents menés par la directrice rectiligne appartiennent aux arêtes.

660. Une courbe d'ombre peut avoir des branches infinies dépendant de la position du point lumineux (S, S') (Jig. 296), en outre de celles qui correspondent aux arêtes (art. 658).

Tous les plans tangents à l'infini étant parallèles au plan directeur sont horizontaux; la droite menée par le point S' parallèlement à la ligne de terre est la trace du seul plan horizontal qui contienne le point lumineux. La courbe d'ombre a donc deux branches infinies du premier genre (art. 638) ; elles correspondent aux génératrices qui ont leurs traces en Y et en J'.

661 . Si les rayons de lumière sont parallèles entre eux et verticaux ou inclinés, aucun des plans d'ombre des génératrices n'est tangent à l'infini. S'ils sont horizontaux, tous les plans d'ombre touchent la surface a l'infini, et ceux des génératrices (Pp, P'p'), (Qq, Q'q') sont de plus tangents aux divers points de ces droites, car nous avons vu que chacune d'elles, pour passer à la position voisine sur la surface, décrivait un élément horizontal plan en tournant autour du sommet. La ligne d'ombre pour des rayons horizontaux se compose ainsi d'une courbe située à l'infini et des génératrices (Pp, P'p'), (Qq, Q' y').* Rien ne distingue ici