CHAPITRE III. — CONOIDE. l

les arêtes des autres génératrices, parce que la courbe dont elles sont asymptotes disparaît à l'infini.

662. La solution que nous ayons exposée a l'article 648 pour le problème du plan tangent parallèle à un plan donné se simplifie beaucoup pour le conoïde oblique.

Les génératrices parallèles au plan donné (P, P') (Jîg. 3oo) sont parallèles à sa trace P et se trouvent dans le plan (GE,EF') mené par la directrice rectiligne (GF, G'F') parallèlement à la droite P. Les traces verticales de ces génératrices sont donc aux points A" et B', où la trace EF' de ce dernier plan rencontre la seconde directrice qui est dans le plan vertical. Les génératrices parallèles au plan donné sont par conséquent les droites (AM, A'M') et (BN, B'N'). Pour achever la solution, il faut faire passer par chacune d'elles un plan parallèle à (P, P'); on détermine ensuite chaque point de contact à l'aide d'un paraboloïde de raccordement (art. 646).

663. On peut trouver l'équation aux paramètres par un calcul analogue à celui de l'article 655.

Nous plaçons l'origine en un point quelconque 0 de la ligne de terre X,X [fig. 296); nous prenons pour axes les droites rectangulaires OX, OY et OZ : les deux dernières sont respectivement dans les deux plans coordonnés. Si nous appelons X? Y, Z et a, /3, 7 les coordonnées courantes de la directrice droite et de la directrice courbe, nous pourrons représenter ces lignes par les équations

Les lettres u et v représentent l'abscisse OF et l'ordonnée FF' de la trace verticale F de la directrice rectiligne ;metn sont des coefficients.

Désignant par <j l'angle formé avec la ligne de terre par la génératrice qui est à la hauteur 7, nous avons

tang <7 = —7 — ^-r-*

DifTérentiant, éliminant a et écrivant k à la place de^inous obtenons

, 1 n*{y - v)*-)r[m{y - v)^[a - u)Y dy .

k est nul en même temps que ^ et par conséquent quand la tangente de la direc-

r6# LIVRE VIF. — SURFACES GAUCHES.

trice curviligne est horizontale; il est infini quand on a

(7'-^)-(a-w)^=ro

Celte équation exprime que la tangente de la directrice curviligne au point considéré passe par la trace verticale F' de la directrice rectiligne. Le paramètre d'une arête de la surface est donc infini.

664. Représentation d'un conoïde oblique circonscrit à un cercle. — Sur la fig. 299, nous avons représenté par seize génératrices un conoïde oblique dont les directrices sont le cercle AT situé dans le plan vertical AI et la droite (N,N,N',N'). Les génératrices toutes horizontales sont disposées de manière à intercepter des arcs égaux sur le cercle.

D'après ce que nous avons vu (art. 658), pour déterminer les arêtes, il faut mener des tangentes à la directrice curviligne du point où la droite (N,N, N'tN') perce le plan vertical AI. Ce point, situé à la rencontre des lignes ÏT etN^N', étant éloigné, nous avons fait une réduction d'échelle (art. 66), en prenant le point 0 pour centre de similitude : le rapport est celui de 4 à 1. Les points T et J' ont ainsi été transportés en / ety au quart de leur distance du point 0. La construction a fait trouver les points de contact/?' et q\ qui, ramenés en P' et Q' sur le cercle primitif, déterminent les arêtes (PR, P'R') et (QS, Q'S').

De part et d'autre de ces droites, les génératrices sont parallèles deux à deux en projection horizontale et dans l'espace. La directrice rectiligne que la surface possède à l'infini (art. 641) est donc une ligne double, comme dans le cas du cylindroïde; mais c'est une ligne d'intersection et non de contact, car le plan de deux génératrices parallèles n'est pas parallèle au plan directeur, et par Suite la surface a deux plans tangents distincts au point situé à l'infini où ces droites se rencontrent (').

Les points (N, N') et (N,, N', ) sont des sommets.

665. La projection horizontale de la ligne de striction est donnée immédiatement comme enveloppe des projections des génératrices. On détermine par points la projection verticale de cette courbe à l'aide de paraboloïdes. La construction est analogue a celle que nous avons expliquée à l'article 654 pour le cylindroïde.

Considérons la génératrice (FM, FM'); il suffit de remplacer la directrice courbe par la tangente (FU, FU') pour changer le conoïde en un paraboloïde de raccordement. La trace ^Ude cette surface auxiliaire sur le plan horizontal xy rencontre en u la trace du plan qui projette horizontalement la génératrice et qui par suite touche la surface au point central de cette droite. La projection

(' ) Nous verrons quo la surface est algébrique et du quatrième degré ; chaque génératrice a donc deux poinls doubles (art. 618) : l'un est sur la directrice rectiligne, l'autre à l'infini.