CHAPITRE III. — C0N01DE. l

verticale de la génératrice du second système du paraboloide est déterminée par le point u' relevé de u et par le point de concours e (art. 611, 645); elle fait trouver le point de contact £\ La projection verticale de la ligne de striction est N'3T...N'4A'... rf'N'.

666. Quand une courbe continue tracée sur une surface gauche passe à un sommet, ce point appartenant au contour apparent de la surface par rapporta un plan quelconque, la projection de la courbe y est tangente à la projection de la génératrice ou possède un rebroussement; la courbe elle-même a donc un rebrousse ment dans l'espace lorsqu'elle n'est pas tangente à la génératrice.

Nous avons limité le conoïde de tejîg. 299 au plan vertical N,rf qui passe au sommet inférieur. D'après ce que nous venons de dire, la trace de la surface a un rebroussement en ce point; la tangente au rebroussement est l'intersection du plan sécant N^avec le plan déterminé par la génératrice (EN,, E\ N't ) et par la directrice (N«N, N'jN'). Nous avons obtenu le point /' de cette ligne en prenant pour plan horizontal de construction celui qui contient le point (L, L').

Un même plan est tangent le long de la génératrice ( EN! , E'l N't ) depuis le point situé à l'infini jusqu'au sommet (N«, N't) qui est le point central; là le plan tangent tourne subitement jusqu'à la position déterminée par la directrice rectiligne. Au delà, le plan revient de la même manière à sa première position en achevant une rotation de 180 degrés. Si l'on parvient au point (Nlt N',) en suivant sur la surface une direction non tangente à la génératrice, la position du plan tangent se modifiera d'une manière graduelle.

Par des considérations analogues à celles que nous avons présentées à l'article 442, nous appellerons plan de rebroussement le plan qui contient les tangentes aux rebroussements des sections qui passent à un sommet (').

Un sommet est un point de rebroussement isolé. On trouve des points de même nature sur des surfaces de tout genre quand deux génératrices consécutives se coupent ou quand une génératrice curviligne se trouve avoir subitement un rebroussement.

667. Équation du conoïde oblique circonscrit à une conique. Génération de cette surface par des coniques. — Il est facile d'obtenir une équation du conoïde, même en supposant que le cercle (AI, AT) soit remplacé par une conique située d'une manière quelconque par rapport au plan directeur. Nous nous servirons de la

fig. 296 en ne faisant aucune hypothèse sur l'angle des plans de projection qui sont le plan directeur et celui de la conique directrice.

(*) L'expression de plan de rebroussement est due à M. Bour ; mais, comme il l'indique, c'est nous qui lui avons signalé l'existence d'un plan contenant les tangentes aux rebroussements des différentes sections et l'analogie qui résulte de cette circonstance entre un sommet d'une surface gauche et un point de l'arête de rebroussement d'une développable.

l66 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

Nous plaçons l'origine à la trace F' de la directrice rectiligne (qpf q'p'). Nous prenons pour axe des abscisses l'horizontale Y'x située dans le plan de la conique, pour axe des z la droite Y'z parallèle au diamètre Q'P' qui dans la conique est conjugue aux cordes horizontales, et enfin pour axe des y la droite (Yy, F'a?), intersection du plan horizontal passant par l'origine avec le plan qui contient la directrice rectiligne et l'axe des*.

Nous pouvons représenter les directrices par les équations

y = nz, [y=o.

xK et z{ sont les coordonnées du centre de la conique, a et c les moitiés de ses diamètres parallèles aux axes.

On obtient pour la projection horizontale de l'une des deux génératrices qui sont à la hauteur z l'équation

— nz y — nz = = = x.

.. + .^.-li^!*

Si l'on regarde le radical comme affecté du double signe, cette équation représentera les deux génératrices qui sont à une hauteur quelconque z9 et par suite le conoïde lui-même. En la mettant sous la forme d'un polynôme entier, on obtient

a2(y — nz)2 [c2 — (z — z,)a] — c2 [yxi -f- nz{x — a?,)]2— o.

Considérons maintenant un plan contenant l'axe des abscisses; nous pouvons le représenter par l'équation

y = qlz.

L'équation de la projection verticale de l'intersection du conoïde par ce plan se divise en deux :

z2 = o, a2[oi — n)2[c2 — (z — zt)*] — c2\axi h- n[x — <r4)]2= o.

La seconde est du deuxjème degré, et par conséquent tout plan passant par l'axe des abscisses coupe la surface suivant une conique. Le conoïde admet ainsi un mode de génération par des lignes du second ordre ; l'ellipse directrice P'Q' et le segment utile de la directrice rectiligne appartiennent à la série de ces courbes. La première des deux équations que nous avons obtenues représente deux fois la droite F' x, qui cependant paraît être étrangère à la surface. Pour expliquer ce résultat, nous remarquerons que, si le point F' se trouvait placé entre les horizontales P'// et Q!q\ la droite Y'x rencontrerait deux fois l'ellipse directrice et serait