CHAPITRE III. — CONOÏDE

une génératrice double» intersection de deux nappes de la surface; tout plan contenant cette droite aurait un point de contact avec chaque nappe et couperait le conoïde suivant une conique qui passerait à ces points. La droite Yx ne dépend en aucune manière de la position que la conique directrice occupe dans son plan; elle est donc encore une génératrice double quand elle ne rencontre pas cette courbe en des points réels, mais elle est alors éloignée des autres génératrices, de sorte qu'elle fournit un point isolé à toute section de la surface par un plan qui ne la contient pas et qui ne passe pas par la directrice rectiligne.

Par des motifs analogues, la verticale du point 0 est une génératrice isolée sur le cylindroïde de \&fig. 298. Cette circonstance montre pourquoi tout plan passant par cette ligne coupe suivant une conique la surface proprement dite, bien qu'elle soit du quatrième ordre (art. 650).

Une génératrice simple n'est jamais isolée, parce que son point unique de rencontre avec une directrice curviligne ne peut pas devenir imaginaire. 11 y a une grande analogie entre une génératrice isolée et les segments parasites d'une directrice (*).

668. Nous avons représenté sur hjig. 299 une des sections elliptiques du conoïde; pour cela, nous avons pris un second plan vertical de projection perpendiculaire au premier, et nous y avons placé la projection N' N" de la directrice rectiligne. Tout plan perpendiculaire à ce plan vertical et dont la trace passe par le point de rencontre des droites N"«N" et VX coupe la surface suivant une conique. Pour avoir la trace 9*9" d'un tel plan, il suffit de diviser la ligne de terre N'V et sa parallèle N"X en parties proportionnelles. Nous avons établi sur de petites longueurs les nouvelles projections verticales des génératrices, et, ramenant sur le plan horizontal les points de rencontre de ces droites avec ?'<p"% nous avons obtenu des points de la projection horizontale de l'ellipse d'intersection. Nous avons ensuite construit la projection verticale de cette courbe.

Les tangentes de l'ellipse sont horizontales aux points (y, <p') et (çi9 <p'<), où elle rencontre les génératrices supérieure et inférieure; la droite (99^ y'ç'Jest donc le diamètre conjugué aux cordes horizontales, et, comme elle est partagée eu parties égales par le plan horizontal OJ', on voit que le diamètre qui lui est conjugué a pour projections tj//' et ^/.

Les diamètres qui sont conjugués aux cordes horizontales des sections du second ordre faites dans le conoïde forment un paraboloïde, car ils rencontrent

(') On peut démontrer très-facilement qu'un conoïde droit circonscrit à une conique A située dans un plan perpendiculaire au plan directeur, est coupé suivant une conique par tout plan parallèle à celui de A, et, en faisant une déformation homologique dans des conditions convenables, on obtient le théorème général relatif aux sections du second ordre du conoïde oblique. On peut mémo l'établir directement pour cette dernière surface, mais ces modes de démonstration ne font pas suffisamment ressortir la nature de la droite que nous avons prise pour axe des abscisses.

l68 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

trois droites horizontales : les génératrices (EN,, E'f N'4), (EN, E'N') et la commune intersection des plans des coniques.

Conoïde droit.

669. On appelle conoïde droit le conoïde qui a une directrice rectiligne perpendiculaire à son plan directeur.

Sur la fig. 290, le plan horizontal est pris pour plan directeur* et la surface est donnée par sa trace verticale À et par le point d, projection horizontale de sa directrice rectiligne que l'on appelle quelquefois son axe.

En menant à la directrice A des tangentes verticales, on détermine les traces V et d des arêtes. Ces droites forment le contour apparent de la surface par rapport au plan horizontal.

L'axe d rencontre à angle droit toutes les génératrices et est par conséquent la ligne de striction de la surface. Le point central d'une arête est donc à distance finie; son paramètre est infini (art. 636).

670. On obtient facilement l'intersection d'une surface réglée avec un cône en faisant passer un plan auxiliaire par chaque génératrice considérée et par le sommet du cône; mais souvent les intersections des surfaces réglées entre elles et avec les surfaces de révolution ne peuvent être déterminées qu'à l'aide de sections planes auxiliaires construites par points. Toutefois, lorsqu'il s'agit de deux conoïdes ayant un même plan directeur, ou d'un conoïde et d'une surface de révolution placés de manière que l'axe de celle-ci soit perpendiculaire au plan directeur de celui-là, en coupant les deux surfaces par des plans parallèles au plan directeur, on obtient des droites ou des cercles faciles à déterminer.

671. Conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde. — Pour présenter un exemple de cette construction, nous allons déterminer l'intersection d'un conoïde droit avec un tore elliptique de même axe.

Nous prenons pour plan horizontal de projection celui du cercle décrit par le centre de l'ellipse méridienne [fig. 3oi). L'axe commun des surfaces s'y projette en un point 0. Nous traçons sur un plan méridien 0Xif rabattu sur le plan horizontal, la moitié supérieure Pp'Q de l'ellipse qui engendre le tore.

Le conoïde a pour directrice curviligne la ligne dans laquelle se transforme l'ellipse A' V'B' lorsque l'on enroule son plan sur le cylindre vertical dont la trace horizontale est le cercle décrit par le centre de la méridienne. L'axe vertical V"V reste droit; l'axe horizontal devient l'arc ab : il faut concevoir que cet axe est d'abord transporté sur la tangente AB, puis courbé sur le cercle, de manière que chacun de ses points décrive une développante. Les axes verticaux V"V et w? des ellipses sont égaux.