CHAPITRE III. — CONOÏDE

Les plans sécants auxiliaires sont horizontaux. Celui qui passe par le point R' de la méridienne PQ coupe le tore suivant deux cercles décrits du point 0 comme centre» avec les rayons OR et OS. Si Ton détermine sur l'ellipse A'B' les points C et D' qui sont à la même hauteur que R' et S', et que Ton prenne les arcs Vc et \d égaux aux abscisses VC, etVD,, les points c et useront les projections des points où la directrice du conoïde est rencontrée par le plan sécant considéré» et, par suite, les droites suivant lesquelles cette surface est coupée se trouveront projetées sur Oc et Od. Les sections circulaires précédemment obtenues rencontrent ces lignes en quatre points M, N, I et J qui appartiennent à la projection de l'intersection.

Les axes verticaux des deux ellipses étant égaux, les points V et v' sont dans un plan horizontal qui touche le conoïde le long de la génératrice UVO et le tore le long du cercle v V. Le point de rencontre V de ces lignes appartient aux deux arcs EF et GH qui composent la projection de l'intersection (*).

Le plan horizontal est un plan principal pour les deux surfaces, et par suite chaque point, tel que M, est la projection de deux points de l'intersection situés l'un au-dessus de lui, l'autre au-dessous, et à égales distances.

Le conoïde prolongé au delà de l'axe 0 rencontre une seconde fois le tore, suivant une autre courbe symétrique de la première, et dont on obtiendrait la projection en considérant les intersections des différents cercles avec les prolongements des droites sur lesquelles se projettent les génératrices du conoïde.

672. La tangente de la courbe en un point quelconque M est l'intersection des plans tangents au tore et au conoïde en ce point. La trace du premier de ces plans est la droite rt perpendiculaire à OM, et passant par le point r ramené par un arc de cercle de la tracer' de la tangente RV à la méridienne. Pour construire le plan tangent du conoïde, nous remplaçons d'abord la directrice curviligne de cette surface par sa tangente au point projeté horizontalement en d9 en conservant d'ailleurs la directrice rectiligne qui est projetée sur le point 0 et le plan horizontal comme plan directeur ; nous avons ainsi un paraboloïde de raccordement le long de la génératrice OM .

Quand on enroule sur le cylindre aVv la surface de l'ellipse A'B', la sous-tangente D,T conserve sa longueur et se place sur la tangente dT{ du cercle : le point T| est donc la trace horizontale de la tangente à la directrice curviligne; et, comme le point 0 est la trace horizontale de la directrice rectiligne, on voit que la droite OT, est la génératrice du paraboloïde contenue dans le plan horizontal. La droite M/, parallèle à dTt est la trace d'un plan vertical qui, étant parallèle aux deux directrices du paraboloïde, le coupe suivant une génératrice du second système. Cette droite qui a sa trace en /, et la génératrice horizontale OM déter-

(') Nous avons déjà remarqué aux articles 200 et 236 que la courbe de section de deux surfaces tangentes Tune à l'autre avait un point double au point de contact.