CHAPITRE H. — QUESTIONS DIVERSES

où les deux extrémités (a, a!) et (b, b') de la droite sont, Tune au-dessus du plan horizontal et l'autre au-dessous. Lorsqu'on rabat le plan projetant, il faut porter les longueurs a0 a' et b0b' de côtés différents de la projection ab. Le rabattement A,B, doit passer par la trace e de la droite, ce qui fournit une vérification.

Si Ton veut déterminer la grandeur de la ligne par un triangle rectangle, le second côté 6G sera égal à la longueur a' g, différence de hauteur des points a' et b'.

16. On peut encore déterminer la grandeur d'une droite en la reudant parallèle à l'un des plans coordonnés, et en cherchant ce que devient alors sa projection sur ce plan.

Faisons tourner le plan projetant vertical de la droite AB [fi g. \t\à) autour de la verticale ka, jusqu'à ce qu'il soit parallèle au plan vertical de projection. Dans ce mouvement le point b décrit un arc de cercle dont le centre est en a, et vient se placer en bt sur la droite abt parallèle à la ligne de terre XY. Le point B restant toujours à la même hauteur, sa projection verticale b' se meut sur une parallèle à la ligne de terre; elle s'arrête au point 6', correspondant à 6, . La droite a'b\ est donc la projection de la ligne devenue parallèle au plan vertical, et par suite elle est sa vraie grandeur.

Un exemple de cette construction est donné sur la figure i/j. Les extrémités (a, a!) et {b,b') de la droite y ont été placées de côtés différents du plan horizontal. Les points e et eif traces horizontales de la ligne avant et après la rotation du plan projetant, sont sur un même arc de cercle décrit du point a comme centre.

17. Si l'on voulait déterminer sur une ligne indéfinie (ae, a'é) [fig. 12 bis) un point (b, b') qui fût à une distance donnée du point {a,a')9 on pourrait ramener la droite sur le plan horizontal en rabattant son plan projetant : elle se placerait en Ate. On porterait alors la longueur donnée de A, en B0 et il n'y aurait plus qu'a chercher les projections du point B, quand le plan projetant serait relevé. La projection horizontale est au pied b de la perpendiculaire B, b, et la projection verticale au point correspondant b' de la droite a'e'.

On pourrait également résoudre le problème par la construction indiquée sur la figure 14.

18. Les plans projetants de deux droites parallèles AB, CD [fig. i3) sont parallèles, et les projections ab, cd de ces lignes le sont également.

Pour mener par un point une parallèle à une droite, il suffit de tracer par les projections du point des parallèles aux projections de la ligne droite*

Lorsque deux projections ab et cd sont parallèles, les plans projetants le sont aussi» mais les droites pouvant avoir des positions quelconques dans ces plans ne sont pas nécessairement parallèles. Cependant si les projections sont parallèles sur deux plans coordonnés, les droites de l'espace seront parallèles comme intersections de plans parallèles.

8 LIVRE 1er. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Plans déterminés par diverses conditions.

"19. Faire passer un plan par deux droites (ab, a!b') et [cd, c' d') [fig. i5).

Pour que le problème puisse être résolu, il faut que les droites se coupent. Cela aura lieu quand les points m et m! où les projections se rencontrent sur les deux plans coordonnés seront sur une perpendiculaire à la ligne de terre, et représenteront par conséquent un point de l'espace.

La trace verticale P' du plan passe par les traces verticales b' et d des droites, et la trace horizontale P par les traces horizontales a et d. Les deux traces du plan devront se rencontrer en un même point de la ligne de terre.

Si Ton avait négligé de s'assurer que les lignes données se coupent, on le reconnaîtrait en voyant que les droites ad, b'c' se croisent en un point de la ligne de terre, car alors elles déterminent un plan qui contient chacune des lignes données, parce qu'elle y a deux points a et bf ou d et c'.

L& figure i5 bis représente la solution du même problème avec une disposition différente des données.

20. Si l'on fait passer une droite par deux points pris arbitrairement sur les lignes données, ses traces seront sur les traces du plan. On peut employer cette construction, soit pour obtenir des vérifications, soit pour déterminer les traces du plan, quand, par suite de la disposition de la figure, le tracé indiqué dans l'article précédent se trouve en défaut.

Sur h figure 16, l'une des droites données (cdf c'd') a ses traces éloignées, c'està-dire hors du cadre de l'épure. On prend sur cette ligne un point {g, g'), et sur l'autre droite (ab9 db') un point (n, n'). Les traces de la sécante (ngt ri g) appartiennent aux traces P et P' du plan.

Quand les deux droites données se coupent en un point de la ligne de terre, ce point appartient aux deux traces du plan cherché. On obtient un second point sur chacune d'elles, en déterminant les traces d'une sécante comme dans le cas de la figure 16.

Lorsque les droites sont Tune et l'autre parallèles à la ligne de terre [fig. 17), les traces du plan sont parallèles à cette ligne, et, pour pouvoir les tracer, il suffit de construire les points e et h', où une sécante (ng9 ri g*) rencontre les plans de projection.

21. On applique sans difficulté" la construction générale de l'article 19 au cas où l'une des deux droites est parallèle à un plan de projection. Sur h figure 18 la droite {ma, m'a1) est parallèle au plan vertical ; le plan cherché devant la contenir, sa trace F lui sera parallèle. Cette trace sera donc parallèle à la projection a'm'\ elle passera d'ailleurs par la trace c' de la seconde droite (med, rric'd'), et elle rencontrera en un point de la ligne de terre la trace horizontale ad du plan.