CHAPITRE II. — QUESTIONS DIVERSES

22. Pour faire passer un plan par trois points, on déterminera les traces des droites qui passent par ces points ; si ces lignes ne se présentent pas d?une manière commode pour l'exécution graphique, on prendra sur elles des points par lesquels on mènera de nouvelles droites qui, étant également dans le plan cherché, pourront servir à en déterminer les traces.

Si Ton donne un point et une droite, on obtiendra sur le plan autant de droites que Ton voudra, en joignant le point donné à divers points de la droite.

Pour mener par une droite donnée un plan parallèle aune autre droite donnée, il faut faire passer par un point de la première une ligne parallèle à la seconde; elle sera dans le plan cherché, qui sera ainsi déterminé par deux droites qui se coupent.

23. Faire passer par un point un plan parallèle à un plan donné.

On mène par le point une droite parallèle à une droite quelconque du plan : les traces du plan cherché passent par les traces de cette ligne et sont parallèles aux traces du plan donné.

Sur la figure 19 le point donné est {m9iri) et le plan donné (P, P'). On prend arbitrairement un point a sur la trace horizontale du plan, et un point V sur sa trfce verticale. La droite passant par ces points a pour projections ab et a'b\ La parallèle menée par le point (mtmf) a des projections parallèles mcdf rn'c'd'.Ses traces sont det c\ et par suite les traces du plan sont les droites Q et Q' respectivement parallèles à P et P'; elles doivent se rencontrer en un point de la ligne de terre»

Le plan indéfini (P, P') s'étend devant le plan (Q, Q'); nous avons cependant établi en trait plein les traces de ce dernier, parce qu'un plan (autre que les plans de projection) n'est regardé comme opaque que quand il appartient à la surface d'un corps, et no.n lorsqu'il est considéré d'une manière abstraite. Si nous faisons quelque exception à cette règle pour rendre un résultat plus sensible, nous aurons soin d'en prévenir le lecteur.

24. On peut généralement simplifier la construction, en considérant sur le plan donné, non pas une droite quelconque, mais l'une de ses traces.

Menons par la projection horizontale m du point donné (fig. 20) une droite ma parallèle à la trace horizontale du plan donné, et par la projection verticale m! une droite m' a' parallèle à la ligne de terre qui est la projection verticale de cette trace; le plan cherché devant contenir la droite [ma, m'a!)9 sa trace verticale passe par la trace a! de cette droite. Cette circonstance et les relations de parallélisme déjà établies permettent d'obtenir les deux traces Q et Q' du plan.

On peut résoudre également le problème en menant par le point (/n, m') une parallèle à la trace P'.

Si le plan donné était parallèle à la ligne de terre, le tracé que nous venons de donner ne pourrait pas être employé : il faudrait recourir à la construction générale de l'article 23.