CHAPITRE IV. — HYPERBOLOÏDE

Les droites B, B' et B", prises pour directrices, déterminent un second hyperboloîde, auquel les arêtes A, A' et A" appartiennent comme génératrices. Ces deux surfaces ont ainsi six droites communes.

685. On sait qu'un parallélépipède a un centre ou les diagonales se croisent en leur milieu : nous allons voir que les génératrices des deux hyperboloïdes ont de remarquables relations de symétrie par rapport au point 0, centre du parallélépipède DG.

Par un point a de A, nous menons une droite qui rencontre les directrices A' et A". Pour tracer cette ligne, nous remarquons qu'elle détermine avec A" un plan dont les traces Fa' et G a sur les plans FJD et GIC doivent être parallèles; par conséquent, en menant du point F une parallèle à Ga, nous déterminerons sur la seconde directrice le point a' où passe la génératrice cherchée B".

Nous prenons les distances F6, 16' et C6" respectivement égales àCa, Ja' et Fa", et nous joignons par des droites les points b et b" au point 6', et les points a, a', a9 b, b' et b" au centre 0, point de concours et milieu des quatre diagonales du parallélépipède, et notamment de CF et de IJ.

Les triangles COa et F06 sont évidemment égaux et dans un môme plan ; par suite, les lignes 06 et Oa sont de même grandeur et en prolongement Tune de l'autre. On trouve de même que les segments Ob' et 06" sont respectivement égaux à Oa' et Oa" et qu'ils appartiennent aux mêmes droites. Il résulte de là que les triangles 606' et 6'06" sont dans un même plan et respectivement égaux à aOa' et a'Oa", et enfin que les points 6, 6' et 6" sont sur une droite A* parallèle à B*. Cette ligne A*\ rencontrant les trois directrices du second hyperboloïde, en est une génératrice.

A toute génératrice B* de la première surface correspond ainsi sur la seconde une génératrice parallèle A", et le plan déterminé par ces droites contient le point 0. Il suit de là qu'une droite allant de la première surface à la seconde en passant par le point 0 est divisée à ce point en deux parties égales, et par conséquent que le système des deux hyperboloïdes a un centre qui est celui du parallélépipède.

684, Les triangles alG, FJa' sont semblables et donnent

IflX Ja' = IGx JF.

En remarquant que la est égal à J6, et désignant par 4C le second membre, qui est indépendant de la position spéciale des génératrices considérées B'" et A", on obtient

JftxJa'=4C.

lélépipède. Cotte expression ne peut donner lieu à aucune équivoque, car V hyperboloïde n'a pas de génératrices qui soient des arêtes, comme nous le démontrerons (art. 689).