II

685. Les génératrices des hyperboloides étant parallèles deux à deux, ces surfaces ont un même cône directeur dont nous pouvons placer le sommet au centre 0. La génératrice OK, parallèle à B" et k A", est dans le plan de ces droites et rencontre le plan DEF au point m, milieu de a! b. Si nous rapportons ce point aux droites A' et B prises pour axes coordonnés, nous aurons

x = mn = -Ja\ y = In = -1b,

d'où, en ayant égard à la seconde équation de l'article précédent,

(1) xy=C.

Cette équation, qui représente la trace du cône directeur commun sur le plan DEF, est celle d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes. Le cône directeur est donc du second ordre; ses intersections avec les autres faces du parallélépipède sont également des hyperboles qui ont pour asymptotes les génératrices des deux surfaces.

686. Par un point J0 pris arbitrairement sur la droite indéfinie 10 J, nous menons un plan P parallèle à DJF : la section faite dans le cône est une hyperbole semblable à la précédente, et qui a pour asymptotes les droites J, X et J, Y, respectivement parallèles à À' et à B.

La génératrice OK rencontre le plan P en un point m{ situé sur la droite J, /»u parallèle à 1m.

En appelant x% et yK les coordonnées du point m{ par rapport aux asymptetts prises pour axes, nous avons

Ci étant une nouvelle constante.

Mais, les points m et mK étant homologues sur les deux hyperboles, nous pouvons écrire

On déduit des équations (1), (2) et (3)

687. Pour interpréter ces résultats, nous traçons par le point m, une droite