CHAPITRE IV. — HTPERBOLOIDE

parallèle à a'b: les points a\ et bt9 où elle rencontre les génératrices A* et B", sont les traces de ces droites sur le plan P. Nous menons par ces points des parallèles aux axes A' et B, et nous avons

| qa't =71,771,-1- ta\, i rbt = nKmK — smt, ( J, q 1= J, 7i, — tmK , ( J, r = J, n{ 4- sbt .

Les coordonnées nm et in du point m sont égales aux longueurs sm{ et //n,, et par suite on a

x = ta\ = smi , y = tmx = sbt .

Les équations précédentes deviennent

qa! { =07,-4- xy j ri, = xK — #,

Mais les longueurs qd \ et J, q d'une part, rbi et J, r de l'autre, sont les coordonnées des points a', et bt ; les équations (4) signifient donc que tout plan parallèle à Tune des faces du parallélépipède coupe les deux byperboloïdes suivant une même hyperbole, et par conséquent que les deux surfaces que nous considérons n'en forment qu'une seule, ayant deux systèmes de génératrices rectilignes et un centre 0.

688. Pour établir d'une manière complète la seconde génération rectiligne de l'hyperboloïde, nous allons montrer que tout point a\ d'une génératrice Bw du premier système (fig. 3o3) appartient à une certaine génératrice p"pp' du second.

Nous faisons passer par le point a\ un plan P parallèle à la face DEFG du parallélépipède; du point J, où la droite IJ perce ce plan, nous menons deux lignes JX et J, Y respectivement parallèles à A' et à A : elles sont les asymptotes de la section de Thyperboloïde par le plan P. En les prenant pour axes, nous avons entre les coordonnées du point a\ la relation

J^xgw', = C, — C.

Déterminons maintenant le point k où l'ordonnée ga\ perce le plan 1GFE ('), et traçons la droite kY jusqu'à sa rencontre/?' avec B' : la génératrice du second système menée par le point/?' et la ligne indéfinie kg se rencontrent nécessairement, parce qu'elles sont dans le plan qui contient le point/?' et la droite B; l'ordonnée du point commun doit d'ailleurs être telle, que son produit par l'abscisse î%g soit (C| — C); cette ordonnée est donc ga'i9 et la génératrice menée par le point// passe précisément au point donné a\.

(') Il suffît de tracer la droite Wrf qui est dans le plan IEFG, puis la droite dk parallèle à J,X.

l8o LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

689. Deux génératrices d'un même système ne se rencontrent jamais, car, si elles étaient dans un plan, les directrices seraient dans ce plan, ce qui est contraire à nos hypothèses (art. 681 ).

Il résulte de ce théorème que V hyperboloïde n'a ni sommets ni arêtes.

690. Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours.

Pour prouver cette proposition, nous considérons deux génératricesaa' a" etp'pp" de systèmes différents (fi g. 3o3), et nous les projetons sur le plan CHGI par des droites parallèles à A" : les projections aG ctp'C se coupent en un point a', que nous relevons en a\ sur aa'a". Les génératrices du second système rencontrant toutes la droite B", leurs projections sur le plan CHGI divergent du point G; la génératrice de ce système qui passe par le point a', (art. 688) se projette donc sur la droite Ca',; elle coupe la droite B' en p\ et par suite elle n'est autre que p'pp" % ce qui démontre le théorème énoncé (').

69 1 . Trois génératrices quelconques d'un système peuvent être prises pour directrices de l'autre système, puisqu'elles en rencontrent toutes les génératrices.

Une droite ne peut pas couper un hyperboloïde en plus de deux points , car, si elle avait trois points sur la surface, elle rencontrerait trois génératrices de l'un des systèmes; elle appartiendrait donc à l'autre système et serait tout entière sur la surface.

Cette proposition s'étend naturellement au paraboloïde.

Cône asymptote.

692. Par un point quelconque d'une génératrice B'" du premier système (fig. 3oa ) passe une génératrice du second, et ces deux lignes déterminent le plan tangent de la surface en ce point. La génératrice du second système qui passe par le point de B'" situé à l'infini est À'", et le plan de ces deux droites est tangent à l'infini; nous avons vu qu'il contient le centre 0; l'enveloppe des plans passant par les différentes génératrices et tangents à l'infini, c'est-à-dire la développable

(') Lay?^. 3o3 peut servir à établir que les deux hyperboloïdes que nous considérons au commencement de ce paragraphe ne forment qu'une surface.

Il suffit de prouver que par un point quelconque a\ d'une génératrice aa'a" on peut faire passer une droite appuyée surB, B' et B". Pour cela, projetons a\ en a', sur aG, et traçons Ca', jusqu'à sa rencontre p' avec B'; la droite /A/', satisfait aux conditions: elle rencontre évidemment B", et, pour prouver qu'elle coupe B, il suffit d'établir que les droites qui joignent les points a' et tt d'une part, a et p' de l'autre, sont parallèles, ce qui est facile.

Ce raisonnement est très-simple, mais il ne dispense pas do démontrer que les sections du cône directeur et de la surface par un môme plan sont des coniques concentriques.

M. J. Binct a le premier considéré dans l'hyperboloïde des parallélépipèdes formés par six plans tangents parallèles deux à deux [Journal tic V École Potj technique, XVI" cahier).