CHAPITRE IV. — IIYPERBOLOIDE. l8l

asymptote de Phyperboloîde, est donc un cône ayant son sommet au centre, et, comme celte surface est directrice ( art. 639), elle n'est autre que le cône directeur dans la position ou nous l'avons considéré aux articles précédents.

En résumé, Vhyperboloïde a un cône asymptote du second ordre dont le sommet est au centre de la surface et qui est directeur des deux systèmes de génératrices. Les plans passant par les couples de génératrices parallèles sont tangents à ce cône. La droite ab {fig. 3o2) est, par suite, tangente au point m à l'hyperbole trace du cône sur le plan DJF, ce qui résulte d'ailleurs de ce que ce point est le milieu du segment compris entre les asymptotes.

695. D'après ce que nous avons vu à l'article 687, si Ton coupe l'hyperboloïde et son cône directeur par un plan P parallèle à deux génératrices quelconques A' et B {fig. 3oa) de systèmes différents, les sections ont les mêmes asymptotes et sont par conséquent homothétiques et concentriques. Ce résultat, étant indépendant des asymptotes, subsiste quand ces droites disparaissent : nous voyons ainsi que les sections faites dans Vhyperboloïde et dans son cône asymptote par un plan quelconque sont des coniques homothétiques et concentriques.

Il suit de là que les sections faites dans un hyperboloïde par des plans parallèles sont des coniques homothétiques et ayant leurs centres en ligne droite.

Toutes les sections planes de l'hyperboloïde étant des coniques, cette surface est du second ordre.

Division homo graphique des génératrices.

694. Quand deux droites sont divisées en des points qui se correspondent un à un, et de telle manière que l'on obtienne un produit constant en multipliant l'un par l'autre les segments interceptés sur elle, entre deux points homologues quelconques et deux origines fixes, nous dirons avec M. Chastes ( ' ) que ces droites sont divisées homo graphiquement, ou que leurs divisions sont homo graphiques.

Considérons deux droites A et A' situées dans un plan {fig. 3o4), et d'un point Q, pris arbitrairement sur ce plan, menons deux droites QJ et QI qui leur soient respectivement parallèles, et une sécante Qaa'; les triangles Qal, a'QJsont semblables et donnent

lax Ja=QJ xQI.

Le second membre étant indépendant de la position de la sécante, si cette ligne tourne autour du point Q, ses points de rencontre avec A et A' formeront sur ces droites des divisions homographiques.

(') Traité de Géométrie supérieure, p. 67. Les diverses propositions développées dans ce paragraphe sont dues à M. Chasles.

L'origine I est, sur la droite A, homologue du point de A' situé à l'infini, et l'origine J est, sur la droite A', homologue du point de A situé à l'infini. Les deux points homologues a et a! sont réunis au point u.

On considère souvent des droites ainsi divisées transportées d'une manière quelconque dans le plan ou dans l'espace, ou réunies l'une sur l'autre de manière à ne former qu'une seule ligne ayant deux divisions distinctes.

695. Quand deux droites sont divisées ho mo graphiquement y si on les place de telle manière qu'un même point u soit la réunion de deux points homologues , les droites passant par les autres points homologues convergeront vers un même point.

Pour le prouver, nous remarquerons que, si 1 et J sont les origines des segments et C la valeur du produit constant, nous aurons

kxJa = C.

Mais en menant par les points I et J des droites respectivement parallèles à A' et à A, et de leur point de rencontre une sécante Qaa', nous déterminerons des segments entre lesquels existera la relation

la x Ja' = lux Jm, d'où

la x Ja' = C.

Les points a et a', situés sur une droite quelconque passant par le point Q, sont donc deux points homologues des divisions considérées, ce qui prouve le théorème énoncé.

696. Si Ton projette sur un plan, ou même sur deux plans différents, deux droites divisées homographiquement, tous les segments de chacune d'elles seront réduits dans un même rapport, et les divisions des projections seront homographiques.

697. Nous avons établi à l'article 684 que l'on obtient un produit constant en multipliant l'un par l'autre les segments interceptés sur deux génératrices A et A' d'un hyperboloïde {fig. 3o2), entre deux origines fixes I et J, et deux points a et a' situés sur une génératrice quelconque de l'autre système. Nous pouvons donc dire que dans un hyperboloïde les génératrices de l'un des systèmes divisent homographiquement les génératrices de Vautre système.

698. Réciproquement, quand deux directrices rectilignes sont divisées homographiquement, les droites qui passent par les points homologues forment un hyperboloïde.

Soient A et A' les directrices [fig. 302), I et J les origines fixes; nous menons par ces points deux droites B' et B respectivement parallèles à A' et à A, et nous portons sur ces lignes des longueurs IG et JF telles que leur rectangle soit égal à