CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE. l

la constante de la division homographique (art. 695), l'une des deux pouvant être prise arbitrairement : la droite A'7 qui passe par les points F et 6 rencontrera une génératrice quelconque B'", car nous avons l'équation

Iax Ja'=IGx JF,

qui entraîne la similitude des triangles IaG et JFa',.et par suite le parallélisme des sécantes aG et a'F; la surface a donc une troisième directrice rectiligne A", ce qui démontre le théorème énoncé.

Il est nécessaire d'avoir égard aux signes et de préciser le sens dans lequel les segments doivent être considérés comme positifs, sur chaque ligne, à partir de l'origine. Sans cela, un point a (/ig. 3oa) pourrait être joint indifféremment à l'un ou à l'autre de deux points situés sur la droite A', de part et d'autre, et a des distances égales de l'origine J. On aurait ainsi deux hyperboloïdes distincts.

Si la constante est positive, les segments dirigés de 1 vers C et de J vers D devront être de même signe. Suivant la notation de M. Ghasles, que nous avons fait connaître (art. 512), nous indiquerons le sens de chaque segment par l'ordre des deux lettres qui désignent ses extrémités. Ainsi la longueur négative IC — la sera représentée indifféremment par aC ou — Ca.

Quand deux droites sont divisées homographiquement, à chaque point de l'une ne correspond qu'un point de l'autre. Nous voyons ainsi d'une nouvelle manière que V hyperboloïde ri a ni sommets ni arêtes.

699. Nous allons maintenant étudier les relations qui existent entre les segments interceptés par quatre génératrices mm\ nri, pp' et qq' d'un système sur deux génératrices A et A' de l'autre système {fig. 3o5). Nous considérons ces dernières lignes comme des directrices, et nous supposons que l'hyperboloïde est déterminé par la condition que le produit des segments interceptés sur elle, à partir de deux points fixes I et J, soit égal à une constante donnée C.

Pour présenter une figure correcte, nous avons appuyé les tracés sur la projection d'un parallélépipède analogue à celui que nous avons considéré précédemment; les directrices A et A' et la droite nri, l'une des génératrices, en forment trois arêtes; les points fixes I et J occupent deux sommets opposés. Nous avons immédiatement

ImxJm'=C, lnxJn'—C, 1/>xJ//=C, lqxlq' = C.

Nous déduisons de ces équations

Im__JV Im __ J p' l£J^ Ig 3p' "nr~-~Jm'' Ï^ — J^' ln~~Jq'' Ip^Jq'

et ensuite

f^"~~77T' I^~~Tp^7 ïq~"Jnri Tq~~7]/

mn n m mp p m nq q n pq __ q p

l84 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

Divisant la première de ces équations par la seconde et la troisième par la quatrième, et remarquant qu'on peut changer le signe des deux termes d'une fraction, et par conséquent écrire ^--7 au lieu de ^-—7* on obtient

mn m' n' J// qn q' n! Irf

mp , m p' Jn! qp q p J/i

mp , m p' an' qp q' p

Enfin, divisant ces équations l'une par l'autre, nous avons la formule

mn %qn m' n* m q' nf

mp ' qp m'p' ' q' p' '

dans laquelle il n'entre aucun segment mesuré à partir des origines I et J. Elle démontre que dans un hyperboloïde les points dans lesquels quatre génératrices d'un système coupent une génératrice quelconque de Vautre système sont dans un rapport anharmonique constant (').

700, On peut mettre l'avant-dernière équation sous la forme

qn.q'n' ^ — • "i — 1 — *»>

en posant

Si les génératrices nri et/?// forment avec les directrices A et A' un quadrilatère gauche invariable, le rapport K sera constant, et, en le supposant conbu, la première équation de cet article déterminera le lieu des positions de la génératrice mobile qqf lorsqu'elle glissera sur les directrices.

701 . Les côtés nn' elpp' du quadrilatère peuvent être pris pour des directrices ; alors, si nmpm est une génératrice quelconque du même système que A et A', nous aurons

ri'n ' p"p ~~ * *

Pour avoir la valeur de la constante K', nous remarquons que le point/?", où la seconde directrice pp' rencontre la génératrice FG parallèle à la première directrice nn\ est le point fixe analogue à J sur la directrice A' considérée avec A. On a donc

( ' ) On peut dire d'une manière plus générale que^ quand deux droites sont divisées homographiquement , le rapport anliarmonique de quatre points de l'une est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants de r autre.

l86 L1VBE VII. — SURFACES GAUCHES.

qu elles sont homo graphiques, car l'équation qui les exprime devra être de la forme (2).

704. Nous avons vu (art. 694) que chacun des points I et J des droites À et A' est homologue du point situé à l'infini sur l'autre droite. Si les points de ces deux lignes situés à l'infini sont homologues, c'est-à-dire si les origines I et J sont à l'infini, le point de concours Q sera également à l'infiui, les droites passant par les points homologues seront parallèles et la division sera proportionnelle. La division proportionnelle est donc un cas particulier de la division homo graphique.

Il est facile de voir que l'équation aux segments se présente alors sous la forme

\.ba H- \L.ca' H- v = o.

Plans principaux. Axes.

705. Actuellement nous allons étudier des surfaces qui ont une génération différente de celle par laquelle nous avons défini l'hyperboloïde (art. 681), mais qui cependant, comme nous le reconnaîtrons, sont identiques soit avec une variété de cette surface, soit avec l'hyperboloïde général lui-même.

Considérons d'abord la surface gauche qui a pour directrices les trois cercles (AB, A'B'), (CD, CD'), (EF, E'F) [fig. 3o6), situés dans des plans parallèles, et dont les centres sont sur une droite perpendiculaire a ces plans, que nous supposons horizontaux.

Les génératrices qui passent par le point (B, B') sont sur deux cônes dont ce point est le sommet, et qui ont respectivement pour directrices les cercles (CD, CD') et (EF, E'F'). La trace du premier cône sur le plan horizontal E'F' est un cercle dont il est facile de déterminer le centre (w, «') et le rayon a/rf'; ses intersections M et M, avec le cercle EF déterminent les génératrices (BNM, B'N'M'), (BN,M,, B'N'M'). Si ces droites tournent autour de l'axe, elles s'appuieront toujours sur les directrices, et l'on voit par la symétrie de la figure qu'elles décriront un même hyperboloïde de révolution (art. 198). Le cercle de gorge sera décrit par les points (J, J') et (J,, J'), qui sont les plus rapprochés de l'axe.

Nous avons tracé en trait plein le cercle de gorge et l'hyperbole méridienne qui forment respectivement le contour apparent de la surface sur les deux plans de projection.

Une tangente quelconque PfP à la projection du cercle de gorge correspond à deux génératrices qui sont représentées sur le plan vertical par des droites P'Q'R' etF.Q'.R',.

706. Si la projection verticale du second cercle avait été telle que C2D'2, entièrement en dehors du contour apparent du cône qui a pour directrice le troisième