CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE

cercle E'F', la surface aurait été imaginaire; elle se fût réduite à un cône si l'extrémité D't de la projection verticale CiD\ du second cercle avait été sur la droite B'E' qui appartient au contour apparent du cône dont le cercle E'F' est la directrice.

707. Nous allons maintenant supposer que Ton donne pour directrices d'une surface gauche trois ellipses (AB, A'B'), (CD, CD') et (EF, E'F') {fig. 307), homothétiques et telles que leurs centres soient sur une perpendiculaire à leurs plans.

Nous augmentons les ordonnées perpendiculaires au plan vertical AB qui contient les grands axes dans le rapport du grand axe de Tune des ellipses à son petit axe, et nous changeons ainsi ces courbes en cercles qui, pris pour directrices d'une surface gauche, détermineront un hyperboloïde de révolution dont nous obtenons facilement une génératrice (PQR, P'Q'R').

Si maintenant nous réduisons toutes les ordonnées dans le rapport nécessaire pour revenir aux directrices primitives, les trois points/?, q et r, nouvelles positions des points P, Q et R, seront encore en ligne droite. Comme, d'ailleurs, les projections verticales P', Q' et R' ne sont pas déplacées, on voit que les trois points (p, P'), (qf Q') et (r, R') seront aussi sur une droite. Les génératrices des deux systèmes de l'hyperboloïde de révolution formeront donc, après la transformation, deux systèmes de génératrices rectilignes d'une surface gauche dont les ellipses données sont directrices : on reconnaît un hyperboloïde général.

708. En obtenant cette surface par une déformation de l'hyperboloïde de révolution, on voit immédiatement qu'elle a trois plans principaux : un horizontal G'H' et deux verticaux AB et YY4 ; mais, pour être assuré que ces conclusions doivent être admises sans restriction, il faut établir qu'un hyperboloïde peut toujours être coupé par trois plans parallèles suivant des ellipses disposées comme le sont les directrices (AB, A'B'), (CD, CD') et (EF, E'F) (fig. 3o7). Cela résulte de ce que les sections de l'hyperboloïde sont semblables et concentriques à celles de son cône asymptote (art. 693); car ce cône, étant du second ordre, a un axe tel, que les sections par des plans perpendiculaires sont des ellipses dans les conditions énoncées. L'hyperboloïde qui n'est pas dé révolution est dit scalëne.

709. Sur la fig. 307, la transformation de la projection horizontale est homologique; la droite AB est l'axe d'homologie; le centre est à l'infini dans la direction YY, .

On peut par cette transformation changer une ellipse en un cercle concentrique, en prenant pour axe d'homologie un diamètre quelconque a' g* (fig. 96) et pour centre d'homologie un point situé à l'infini dans une direction arbitraire d\m. Si l'on transforme de cette manière toutes les ellipses d'un hyperboloïde scalène situées dans des plans perpendiculaires à l'axe non transverse, en ajant soin de prendre pour axes d'homologie des diamètres situés dans un même

l88 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

plan et pour centre d'homologie un même point a l'infini dans les plans de ces courbes, on transformera la surface en un hyperboloïde de révolution, car tous les raisonnements que nous avons présentés à l'article précédent sont applicables. Cette transformation constitue une homologie dans l'espace; le plan des axes d'homologie est appelée/an d'homologie; les droites qui passent par deux points homologues ou rayons d'homologie convergent vers un centre d'homologie qui, dans le cas actuel, est à l'infini. On voit qu'un hyperboloïde scalènepeut être transformé homologiquement d'une infinité de manières en un hyperboloïde de révolution autour de son axe non transverse. Les ellipses situées dans des plans perpendiculaires à cet axe deviennent les parallèles. Celle qui a les plus petits axes est homologue du cercle de gorge. On l'appelle ellipse de gorge.

Sections planes.

710. Nous considérons un hyperboloïde dans la position où il est représenté sur layîg. 307; mais, pour supprimer les petites difficultés qui résulteraient des parties cachées, nous le supposons limité à l'ellipse de gorge (ab, db') [Jig. 3i3).

Nous prenons pour plan vertical le plan de front AB, et nous supposons la ligne de terre éloignée jusqu'en A'B'.

Si la surface est coupée par un plan (KK,, I'K'), on obtiendra facilement des points de l'intersection en cherchant les traces d'un certain nombre de génératrices sur ce plan. On reconnaîtra la nature de la section à l'aide du cône asymptote (art. 695), ainsi qu'il est indiqué dans les articles qui suivent.

Les droites cp et ctpî9 tangentes a l'ellipse ab et parallèles a la ligne de terre, sont les projections de deux génératrices de systèmes différents, qui ont leurs traces aux points/? et/?, et une projection verticale commune O'p'. Le plan qui contient ces deux génératrices parallèles est tangent au point infiniment éloigné où elles se rencontrent (art. 692). Le cône asymptote étant l'enveloppe des plans tangents à l'infini, sa trace ntpy est l'enveloppe des traces de ces plans, et par suite elle est tangente à/?/v, nous savons d'ailleurs qu'elle est homothétique et concentrique avec la trace AB de la surface : nous pouvons donc la construire sans difficulté.

711. Un plan parallèle à (KK,, I'K') et passant par le centre (0, 0') de la surface a pour trace horizontale kkx et coupe le cône suivant les deux droites (Oy, 0'y') et (Oê, OY). Chacune de ces lignes est parallèle à deux génératrices de systèmes différents, qui se trouvent ainsi parallèles au plan sécant et déterminent une branche infinie. La courbe d'intersection a par conséquent deux branches infinies qui correspondent respectivement à (Oy, 0'/) et à (Oê, OY).

Les génératrices parallèles à (Oy, 0'y') ont pour projections horizontales leg