CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE

droites hg et h{g{, parallèles à Oy et tangentes à l'ellipse ab; elles percent le plan horizontal aux points g- et gt de la trace de l'hyperboloïde. L'asymptote est l'intersection du plan sécant par le plan qui contient ces droites et qui touche la surface à leur point de rencontre, situé sur la courbe a l'infini; la trace de l'asymptote est donc au point v, où se coupent les traces KK, et ggt de ces plans ; ses projections sont les droites vC et v'C'f respectivement parallèles h Oy et à O'y'.

On peut établir la trace ggK du plan tangent à l'infini par la seule condition de toucher au point y la trace du cône asymptote.

On obtient de la même manière la deuxième asymptote (uC, m'C), parallèle à la génératrice (Os, OY) du cône.

712. Quand dans deux positions différentes la génératrice d'une surface gauche se trouve parallèle à une même droite située dans un plan sécant, la courbe d'intersection présente deux branches infinies, car il y a des génératrices intermédiaires dont les traces sur le plan sont situées entre les points à l'infini. Mais, pour l'hyperboloïde, les deux génératrices parallèles hg, ht gt n'appartiennent pas à un même système. Chaque système suffit complètement à la génération de la surface et n'a qu'une génératrice parallèle à Oy; il s'ensuit que la courbe n'a qu'une branche infinie dont l'asymptote soit parallèle à Oy.

713. En appliquant la construction de l'article 711 à la section faite par le plan (kkl9 i'O'), qui contient le centre, on trouve que ses asymptotes $ont les génératrices (Oy, O'y') et (Os, O's') du cône. Il était facile de le prévoir, car ces droites, devant former un système concentrique et homothétique avec laconique suivant laquelle la surface est coupée, en sont nécessairement les asymptotes.

D'après cela, et en faisant passer un plan par le centre et par une sécante quelconque, on reconnaît que les segments interceptés sur une droite entre ïhyoerboloïde et son cône asymptote sont égaux.

714. Si le plan (kk^i'O') parallèle au plan sécant et passant par le centre touchait le cône, les deux génératrices Oy et Os se confondraient; il n'y aurait dans chaque système qu'une génératrice parallèle au plan (KK,, I'K'), et, le plan (kkn ivO') étant tangent a l'infini, l'asymptote intersection de plans parallèles disparaîtrait et la courbe serait une parabole.

Enfin, quand le plan (kkifi'0') ne contient aucune génératrice du cône, la section de Thyperboloïde est une ellipse.

Cônes et cylihdres circonscrits.

715. Considérons une courbe du second ordre, section d'un hyperboloïde par un plan qui en contient le centre 0, et deux droites Oa?et Oy, diamètres conjugués de celte conique [fig. 3o8) ; si l'on fait tourner le plan autour du diamètre

transverse Ox, il coupera l'hyperboloïde suivant différentes courbes du second ordre qui toutes auront leur centre en 0 et qui passeront par les points À et A,. Les diamètres de ces courbes conjugués avec 0 useront parallèles au plan tangent en A et formeront par conséquent un plan qui est le plan diamétral conjugué à Ox. Il divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à Ox.

Ce résultat est indépendant de l'existence des points A et A,, et il subsiste par conséquent quand ces points sont imaginaires. Ainsi donc, si l'on fait tourner le plan autour de Oy, les diamètres qui dans les différentes sections seront conjugués avec Oy se trouveront dans un plan.

716. Supposons maintenant que d'un point S pris sur Ox on mène des tan* gentes SM et SM,, et la droite MM, sécante de contact, ou polaire de S; on aura la relation

OS x OP = ÔA.

Lorsque le plan tourne autour de Ox, les polaires du point S pour les différentes sections passent par le point P déterminé par l'équation ci-dessus, et, comme elles sont toujours parallèles au plan diamétral conjugué avec Ox, elles forment un plan qui est le plan polaire du point S.

L'intersection de la surface par le plan polaire est le lieu des points de contact des tangentes issues du point S, et par conséquent la courbe de contact du cône circonscrit qui a son sommet en ce point.

Si le diamètre OS était non transverse (fig. 309), les raisonnements seraient

les mêmes, mais les segments OS et OP auraient des directions opposées, et leur

produit serait une quantité négative — OC .

En résumé, la courbe de contact d'un cône circonscrit à un hyperboloïde est plane; son plan est parallèle au plan diamétral conjugué au diamètre qui passe parle sommet du cône.

717. Quand le diamètre OS est transverse [fig. 3o8), le plan polaire du point S est parallèle au plan tangent en A, et par suite aux deux génératrices qui se croisent à ce point; la ligne d'intersection qu'il détermine est donc une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à ces droites. Nous aurions pu considérer le plan tangent à la seconde extrémité A, du diamètre : le résultat eût été le même, car nous savons que les génératrices qui se croisent au point kK sont parallèles à celles qui passent au point A (art. 683). Ces quatre génératrices sont les seules qui soient parallèles au plan polaire du point S, car sans cela la section aurait plus de deux branches infinies; si les points A et A, sont imaginaires, c'est-à-dire si le diamètre OS n'est pas transverse {fig. 309), le plan polaire du point S coupera toutes les génératrices, et la section sera une ellipse.

Quand le diamètre OS n'est pas transverse {fig. 309), il se trouve dans Tinté-