CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE

rieur du cône asymptote, et le plan diamétral conjugué, qui n'est alors parallèle à aucune génératrice, coupe le cône suivant son seul sommet. Lorsque ce diamètre est transverse (fig. 3o8), il est extérieur au cône, et le plan diamétral conjugué coupe le cône suivant deux droites respectivement parallèles aux deux génératrices qui passent au point A et à celles qui passent au point A4. Dans la position intermédiaire, quand le point S est en s sur une génératrice OE du cône, les points A et A| sont réunis en un seul à l'infini; le plan tangent à l'hyperboloïde en ce point est tangent au cône asymptote le long de la génératrice OE, et, comme il passe par le centre, il est le plan diamétral conjugué à cette droite. Le plan polaire du points, étant alors parallèle a un plan tangent du cône asymptote, coupe la surface suivant une parabole (art. 714).

Lorsque le point S est sur la surface en A, son plan polaire est le plan tangent en ce point, et la section se compose des deux génératrices qui s'y croisent.

Il résulte de la discussion qui précède que la ligne d'ombre d'un hyperboloïde est une hyperbole, une ellipse ou une parabole suivant que le diamètre qui passe par le point lumineux est transverse, non transverse, ou qu'Use confond avec une génératrice du cône asymptote. Quand le point lumineux est sur la surface, la ligne d'ombre est formée des deux génératrices qui passent à ce point. Les considérations que nous avons présentées à l'article 608 pour le paraboloïde montrent comment ces génératrices peuvent former une ligne d'ombre.

En raisonnant comme à l'article 609, on reconnaît que la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un hyperboloïde est plane et située dans le plan diamétral conjugue au diamètre parallèle aux génératrices du cylindre.

L* ombre portée d'un hyperboloïde sur un plan est une conique; il en est de même de son contour apparent.

718. Nous pouvons conclure de là et des théorèmes précédemment démontrés que les sécantes qui joignent deux à deux les points homologues de deux divisions homo graphiques dans un plan ont pour enveloppe une conique, car on peut considérer les deux droites comme les projections de deux directrices rectilignes qui ne se rencontrent pas et qui sont divisées homographiquement. Les sécantes sont alors les projections des génératrices d'un hyperboloïde, et leur enveloppe est une conique, contour apparent de cette surface sur le plan.

Si les directrices se déplacent et viennent par un mouvement continu se mettre dans le plan de projection, l'hyperboloïde s'aplatira et finira par se confondre avec une partie du plan limitée a la conique.

Ligne de striction.

719. Nous allons nous proposer de construire le point central d'une génératrice quelconque d'un hyperboloïde. Nous supposons que cette surface est rap-

portée à deux plans coordonnés respectivement parallèles au plan de l'ellipse de gorge et à un autre de ses plans principaux (Jig. 3i 1), et qu'elle est déterminée par l'ellipse de gorge (ab, ab') et par l'hyperbole contenue dans le plan vertical AB; sa trace horizontale est semblable à l'ellipse de gorge (art. 695).

Le plan tangent à la surface au point situé à l'infini sur une génératrice (PQt FQ') contient la génératrice parallèle (P< Q«,P'< Q'<); le plan central de la génératrice (PQ>P'Q') est perpendiculaire à celui-là; nous l'obtiendrons par la construction de l'article 56, faite dans un ordre différent (' ).

La droite Q, E, perpendiculaire à PQ, peut être considérée comme la trace d'un plan auxiliaire perpendiculaire à la génératrice (PQ, P'Q'); en le rabattant sur le plan horizontal, nous amenons le point où il coupe cette droite en un point V qu'il s'agit de déterminer sur *Q.

La droite t'V, considérée dans l'espace avant son rabattement, est perpendiculaire à la génératrice comme étant dans le plan auxiliaire. Pour avoir sa grandeur, nous ramenons le plan vertical PQ dans le plan horizontal par une rotation autour de sa trace PQ. Le point (q, q') se place en y, à une distance qqK égale à LO'; la droite {qQ,q'Q') devient y,Q, et la perpendiculaire iv fait connaître la longueur cherchée i*V.

Les sections faites par le plan auxiliaire dans le plan tangent à l'inûni et dans le plan central sont rectangulaires. La première passe par le point Q, delà génératrice ( P, Q, , P', Q', ) ; elle est en rabattement Q, V : nous pouvons donc tracer le rabattement VK de la seconde. Quand on remet le plan auxiliaire dans sa position, le point K reste fixe, et l'on voit que la droite QK est la trace du plan central; il ne reste plus qu'à déterminer le point de contact de ce plan.

La génératrice du second système contenue dans le plan central a sa trace au point D, et nous obtenons facilement ses projections CD et CD': le point cherché est (m, m).

On peut mener du point D deux tangentes à l'ellipse de gorge, et chacune d'elles est la projection d'une génératrice; mais celle que nous cherchons n'est pas du même système que (PQ,P'Q'), et par conséquent, lorsqu'on les regarde du cenlre 0, le point de contact de l'ellipse de gorge et la trace doivent être, l'une par rapport à l'autre, de côtés différents sur ces deux lignes.

Le point (m, m') n'est pas le point central de la génératrice (CD, CD'), car, s'il

(') Il y a deux méthodes pour construire un plan Q perpendiculaire à un plan P et passant par une droite D située dans ce plan. La première consiste à employer un plan auxiliaire M, perpendiculaire àD; les traces de P et de Q sur ce plan sont rectangulaires, et, l'une d'elles étant connue, on obtient facilement l'autre. Dans la seconde méthode, on élève une perpendiculaire Nà P par un point quelconque de D, et l'on fait passer un plan par cette droite et par D. Cette dernière construction est généralement plus simple, et, si nous avons préféré l'autre, c'est que le plan auxiliaire M nous sera nécessaire plus loin pour la détermination du paramètre) qui exige un plan Q' incliné à 45° sur P.