CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE. ïq

Tétait, le plan qui y est tangent serait perpendiculaire aux deux plans respectivement tangents aux points de (CD, CD') et (PQ,P'Q') situés à l'infini, et par suite à la droite (O/n, O'/n'), qui est leur intersection. Or il est facile de voir que ce n'est qu'aux sommets de l'ellipse de gorge que le diamètre est perpendiculaire au plan tangent.

720. Si l'on opère sur la génératrice (PQt/>V)> les constructions se disposent d'une manière identique sur le plan horizontal, en le supposant à la hauteur de la droite A" B", et Ton trouve un point central (m, m") situé sur la verticale du point (m, m' ) et à la même distance du plan du cercle de'gorge. De même, si l'on cherche le point central de la génératrice du deuxième système projeté sur P'Q', on trouve que sa projection verticale est m! et que sa projection horizontale est à la même distance de la droite AB que le point m.

Les deux systèmes ont ainsi des lignes de striction, formées d'arcs appartenant à une même courbe, symétriques par rapport aux plans principaux et qui se superposent en projection sur ces plans.

Il résulte de ces symétries que le centre (0,0') est sur la corde {mn,m'ri) qui joint les points centraux de deux génératrices parallèles quelconques (*).

721. Si nous voulons déterminer la longueur du paramètre k pour la génératrice (PQ, P'Q'), nous ferons passer par cette droite un plan incliné à /|5° sur le plan central et nous chercherons son point de tangence. Traçant la droite VE, inclinée a 45° sur VK, nous obtenons facilement la trace QE du plan, et, opérant

( ' ) L'équation de l'hyperboloïde étant

la ligne des points centraux des génératrices des deux systèmes est sur le cône représenté par l'équation

M. Chasles a obtenu ce résultat (Correspondance mathématique et physique, t. XI, p.* 67) à l'aide du Calcul différentiel et en regardant le point central comme le pied de la commune perpendiculaire à la génératrice considérée et à la génératrice voisine. On y arrive à peu près aussi facilement en cherchant le point de la génératrice où le plan tangent est perpendiculaire au plan tangent à l'infini, et alors l'Algèbre ordinaire suffit pour les calculs qui ne sont que la traduction analytique des constructions delayfc. 3ii.

Lorsque l'hyperboloïde est de révolution, l'équation (2) perd son dernier terme et représente le plan du cercle de gorge, ainsi qu'il était facile de le prévoir.

Quand le coefficient c* ( a} — b7)* est petit relativement aux deux autres, le troisième terme a peu d'importance et la courbe est très rapprochée de l'ellipse de gorge; il est alors difficile de la tracer d'une manière nette et distincte. On doit avoir égard à cette circonstance lorsque Ton dispose les données dans les exercices graphiques que l'on peut se proposer sur cette question.

En éliminant y entre les équations (1) et (2), on trouve, pour représenter la projection de la ligne de IL 25

comme précédemment, nous trouvons que le point de contact est (e9 tf). La véritable grandeur du segment (me, nie') est égale au paramètre k (*).

striction sur le plan des zx,

(3) 6<(rt.+ cYj,c-! + ««(^ + '-')s(>-^?)?-'-4('',-*,)'('-?-,-?)5 = 0' Si nous faisons x = <?, l'équation se divise et donne

La première valeur de z détermine le sommet b' [fig. *3 1 1 ) . Si l'expression

(4) c>{n7-bl)7-b<(a7 + c7)7

est négative, les autres valeurs sont imaginaires et la tangente en b' ne coupe pas la projection verticale de la ligne de striction ; cette projection n'a alors d'inflexion qu'au centre 0'.

Quand le binôme (4 ) est nul, la courbe est surosculatrice de sa tangente en b' ; enfin, quand il est positif, la courbe prend la forme indiquée sur la fîg. 3n; elle a quatre inflexions, sans compter celles du centre.

Pour étudier le signe du binôme (4), on peut considérer la différence des racines positives de ses deux termes; on trouve

(5) tf^-b7)- <xb7c7

quand a7 est plus grand que b\ et

-a7(b7 + c7) quand b9 est plus grand que a7.

La dernière expression est essentiellement négative, mais l'autre peut être positive, nulle ou négative suivant les valeurs relatives dc«a, b7 et c7. Il résulte de laque la projection de la courbe sur le plan principal vertical qui contient le grand axe de l'ellipse do gorge est susceptible de trois formes différentes, mais que sa projection sur l'autre plan vertical principal no peut en avoir qu'une.

La liaison qui existe entre les projections verticales et la projection horizontale montre que cette dernière peut avoir trois formes différentes; elle a quatre inflexions quand l'expression (5) est positive.

L'équation (3) peut être mise sous la forme

Si nous appelons 7 l'angle que la tangente en 0' fait avec l'axe des abscisses 0'£', nous aurons à la fois

x = introduisant ces valeurs, nous trouvons

z x = o, z = o et - = tang7j

Cette expression permet de calculer rapidement l'angle 7 et de vérifier ainsi les tracés.

Par suite d'une erreur d'impression, les facteurs binômes sont à la première puissance dsns l'équation donnée par M. Chasles.

(' ) Lorsqu'on cherche analytiquement l'expression du paramètre de distribution, en déterminant la génératrice considérée par sa distance d au centre de la surface, on trouve

n, bolc étant les longueurs des demi-axes.

. abc