CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE. IÇ

En déterminant les points analogues à (e, é) sur un grand nombre de génératrices, on pourrait tracer la courbe lieu des points auxquels le plan tangent a une obliquité de 45°.

L'hyperboloïde n'ayant ni sommets ni arêtes, les génératrices d'un mémo système ont nécessairement des paramètres de même signe. Il est d'ailleurs évident, à la seule inspection d'un dessin de la surface, que les signes sont différents dans les deux systèmes. Cette remarque s'étend naturellement au paraboloide. La génératrice (PQ, P'Q') appartient au système négatif

722. Les constructions de l'article 719 peuvent être failes dès que l'on connaît les projections de trois génératrices A, A', A" d'un même système sur deux plans coordonnés quelconques. On commence par déterminer un parallélépipède circonscrit à l'hyperboloïde et dont les droites A, A', A" sont trois arêtes (art. 682); on construit ensuite deux génératrices parallèles A" et B'\ le plan qui les contient et le plan central de A'" qui est perpendiculaire à celui-là; on cherche les points de rencontre du plan central de A"' avec deux des génératrices A, A' et A" : la droite passant par ces points est une génératrice du système B et coupe A" à son point central. On peut donc déterminer les projections de la ligne de striction, et ensuite par ses points doubles obtenir la position des axes. M. Chasles a indiqué cette méthode pour construire les axes d'un hyperboloïde dont on connaît trois génératrices; elle conduirait à des tracés longs et peu exacts dans la pratique (').

Représentation d'an hyperboloïde rapporté à ses plans principaux {fig* 3io).

723. On donne les trois axes d'un hyperboloïde; celui qui n'est pas transverse est perpendiculaire au plan horizontal, et Vun des deux autres est parallèle au plan vertical : on demande de représenter par ses contours apparents et par un certain nombre de génératrices d'un même système la partie de la surface comprise entre deux plans parallèles à celui de l'ellipse de gorge et également éloignés de ce plan.

Les axes sont (ab, a'b'), (cd, 0') et (0, ef). L'hyperboloïde est limité aux plans horizontaux A'B' et A"B".

Les contours apparents sur les deux plans de projection sont l'ellipse de gorge et l'hyperbole principale qui a pour axes a' V et ef. Nous pourrions tracer immé-

( ' ) Ce problème, admettant trois solutions, exige l'emploi d'une ou de plusieurs courbes. On peut le ramener au problème analogue pour le cône, car les axes de l'hyperboloïde et ceux de son cône directeur sont parallèles. On appliquerait d'ailleurs au cône Tune des constructions que M. Chasles a indiquées à la page 8a de Y J perçu historique.

ig6 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

diatement ces courbes; mais il est préférable de les déterminer comme enveloppes des projections des génératrices.

Les asymptotes Q'p' et Ofrt de l'hyperbole sont des génératrices du cône asymptote (art. 713); leurs traces n et p appartiennent a la trace de ce cône et suffisent à la déterminer, car elle est homothétique et concentrique avec la projection de l'ellipse de gorge.

Le plan (np'9 p'0')9 tangent au cône asymptote le long de la génératrice (07r, O'p'), contient les génératrices de Thyperboloïde parallèles à cette droite; leurs projections horizontales dp et cp{ sont d'ailleurs faciles à tracer, car elles passent par les points detc; nous*pouvons donc déterminer les points p et/?, où elles percent le plan horizontal. Nous obtenons de la même manière les traces r et r, des génératrices parallèles à l'asymptote (Op, O'rJ. La trace de la surface est une ellipse passant par ces quatre points, homothétique et concentrique à la projection de l'ellipse de gorge; sa trace sur le plan horizontal supérieur est une ellipse identique à la précédente et qui se superpose à cette courbe en projection horizontale.

Pour mettre de la symétrie dans la position des génératrices représentées, nous allons d'abord les considérer sur un hyperboloïde de révolution résultant d'une déformation homologique de notre hyperboloïde scalène (art. 707, 708).

Nous traçons un cercle sur le grand axe AB comme diamètre, et nous y rapportons en P et en R les points/? et r, traces sur les plans horizontaux A'B' et A'B" d'une génératrice parallèle au plan vertical. Nous faisons sur ce cercle deux divisions en trente-deux parties, prenant successivement pour origine les points P et R; nous ramenons les points de division sur l'ellipse, nous relevons les uns sur A'B' et les autres sur A"B"; enfin nous joignons deux à deux ceux qui sont désignés par la même cote (').

724. Le plan projetant d'une génératrice est tangent au point où cette droite rencontre le contour apparent et contient la génératrice de l'autre système qui passe par ce point. Il suit de là que toute droite projection d'une génératrice est nécessairement la projection d'une autre génératrice. Ainsi la droite mn correspond en réalité à deux projections verticales m! ri et m\ni; mais la génératrice (mn, mirii) appartient au système que nous n'avons pas représenté, et les droites mn et m\ n\ , considérées comme ses projections, devraient avoir des ponctuations inverses de celles que nous leur avons données, c'est-à-dire que les traits pleins devraient être remplacés par des lignes en points ronds, et réciproquement.

( ' ) Les cotes de la division dont l'origine est au point p se rapportent à la trace de la surface sur le plan A'B'; elles sont dans l'intérieur de l'ellipse ÂB. Celles de l'autre division sont en dehors de cette courbe. Nous avons négligé les cotes dans quelques endroits où leur inscription eût pu rendre la figure confuse.