CHAPITRE IV. — HYPEKBOLOIDE

On voit d'après cela que les droites que nous avons construites sur la figure comme projections de génératrices d'un système représenteront des génératrices de l'autre système si on leur suppose une ponctuation inverse, et qu'on peut ainsi considérer l'un quelconque des deux systèmes séparément ou tous les deux ensemble.

D'après nos conventions (art. 623), le paramètre k est négatif pour les génératrices du système représenté et positif pour les génératrices du système qui correspond à une ponctuation inverse.

725. Sur le plan horizontal, un point de croisement tel que a est la projection d'un point réel de rencontre dont la projection verticale est à un autre point de croisement a'. Tous les sommets des quadrilatères des réseaux des deux projections se correspondent ainsi sur des perpendiculaires à la ligne de terre. Si nous considérons les points a, |3, y, . . . , nous remarquerons que les génératrices qui s'y coupent interceptent sur l'ellipse AB des arcs qui, ramenés sur le cercle, ont des amplitudes égales. Il suit de là que les points qui, sur l'hyperboloïde de révolution, correspondent a (a, a'), (|3, /3'), ... sont les diverses positions du point de rencontre de deux génératrices de systèmes différents qui se meuvent d'un même mouvement, et par conséquent appartiennent à un parallèle. Donc ces points eux-mêmes sont sur une section de l'hyperboloïde scalène avec un plan horizontal.

On trouve par des raisonnements analogues que les points X, jx, v, . . . sont en ligne droite, et par suite que les points X', /ut/, v', ... qui leur correspondent appartiennent à une hyperbole projection verticale de la section de la surface par un plan contenant l'axe non transverse. Les génératrices du cône asymptote contenues dans ce plan sont les asymptotes de l'hyperbole (art. 713).

Nous avons tracé sur le plan vertical la ligne de striction du système représenté; elle est trop rapprochée de l'ellipse de gorge pour qu'il soit possible de l'indiquer d'une manière distincte sur le plan horizontal. En supposant à sa projection verticale une ponctuation inverse, on obtient la ligne de striction du système positif.

726. Les constructions seraient un peu simplifiées s'il y avait coïncidence entre les points des deux divisions du cercle auxiliaire; par conséquent, si dans un exercice graphique on se propose, non de représenter un hyperboloïde déterminé, limité a deux plans donnés, mais de faire des tracés d'où résulte une représentation bien symétrique d'un hyperboloïde quelconque, on pourra prendre l'ellipse trace horizontale pour une de celles sur lesquelles doivent se placer des

points de croisement tels que a, ]3, y, On établira à l'aide du demi-cercle AB

une division symétrique par rapport aux axes; on tracera la projection horizontale d'une première génératrice en joignant deux des points arbitrairement choisis; la position des autres droites se trouvera déterminée, et leur enveloppe

donnera l'ellipse de gorge. On placera ensuite sans difficulté les projections verticales des génératrices.

Théorèmes et exercices sur l' hyperboloïde de révolution.

727. Le cercle de gorge d'un hyperboloïde de révolution est la ligne de striction dans les deux systèmes, car le plan qui touche la surface au point (e9 e?)9 ou une génératrice (aefa'ef) rencontre ce cercle (Jig. 3ia), est perpendiculaire au rayon (Oe, e'), et par conséquent au plan mené par le centre et la génératrice, qui est tangent à l'infini.

Si nous déterminons l'obliquité du plan tangent en un point situé sur une génératrice à une distance connue du point central, nous en déduirons facilement le paramètre h qui convient à cette droite et à toutes les autres génératrices, car elles sont évidemment dans des positions relatives identiques.

Considérons la génératrice (ae, a'ë) parallèle au plan vertical {Jig. 3ia) : la trace horizontale du plan tangent au point (a, a') est la droite aG, tangente au cercle qui forme la trace de la surface; le plan central de la génératrice est vertical. Si nous coupons ces deux plans par un troisième (GO', O'V) perpendiculaire à la génératrice, les intersections comprendront un angle égal a celui des

eG

plans; sa tangente trigonométrique sera d'ailleurs égale a ?— «Nous aurons donc

a' * eG

Mais, en appelant r le rayon du cercle de gorge et a l'angle éa'0\ nous avons

a e =• » eG = —> OV = aesina.

cosa r

L'équation ci-dessus donne, lorsqu'on y porte ces valeurs,

k = rtanga.

Le produit rtanga est égal à l'ordonnée F'* ou au demi-axe ef\\ nous voyons donc que dans un hyperboloïde de révolution le paramètre de distribution des plans tangents de toutes les génératrices est égal à la moitié de la longueur réelle de l'axe de révolution, considéré comme axe non transverse de la surface.

On arrive facilement au même résultat en faisant passer par la génératrice considérée un plan incliné à 45° sur le plan central et déterminant la distance de son point de contact au point central.