CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE

La valeur de k est positive pour la génératrice [ae, de') et pour toutes celles du même système, et négative pour les génératrices de l'autre système.

Quand nous considérerons simultanément deux hyperboloïdes, nous regarderons comme homologues les systèmes dans lesquels le paramètre a le même signe.

728. En un point quelconque d'un hyperboloïde de révolution, le plan méridien fait des angles égaux avec les deux génératrices et est perpendiculaire à leur plan, qui est le plan tangent en ce point. D'après cela, lorsqu'un hyperboloïde est donné par trois directrices rectilignes À, A', A" {fig. 3o2), pour reconnaître S'il est de révolution on construit une génératrice B"\ et à chacun des points a, a' et a" où elle rencontre une directrice, on détermine un plan perpendiculaire à celui des deux droites et passant par la bissectrice de leur angle. Si la surface est de révolution, ces trois plans sont méridiens et se coupent suivant une même droite, qui est l'axe de la surface.

On peut encore construire sur les directrices A, À' et A" un parallélépipède DG, en déterminer le centre 0, abaisser de ce point des perpendiculaires sur les trois droites A, A' et A", et enfin voir si ces lignes sont dans un même plan et de même longueur.

729. Représentation de deux hyperboloïdes de révolution tangents le long d'une génératrice commune. Quand deux hyperboloïdes de révolution ont des axes non transverses de même grandeur, les paramètres de leurs génératrices sont égaux, et on peut les placer de manière qu'ils se raccordent tout le long d'une droite : il suffit de faire coïncider deux génératrices des systèmes homologues, de manière que les points centraux se superposent et que les plans centraux se confondent en un seul. Les axes des deux hyperboloïdes sont alors parallèles à ce plan, et les centres sont sur la normale commune au point central.

Nous avons représenté sur les PL XLVI et XL VII deux hyperboloïdes de révolution qui se touchent ainsi suivant une droite. Le plan horizontal est parallèle au plan central de la génératrice de contact, et par conséquent à cette droite et aux deux axes de révolution; les projections de ces lignes sont AA,, MM, et mmK {fig. 3i4). Le plan vertical est parallèle à AAf et les projections verticales des deux axes sont les horizontales M'M't etm'm\ [fig. 3i5). Ces données suffisent pour établir complètement la figure.

Si nous inscrivons dans l'angle M, Omt une droite Vt> perpendiculaire à OA, et égale à la distance o'O' des axes, nous aurons

Vu cotVOa = vu cott> Ou = mO.

Mais chacun des angles VOa et vOu est, pour une des surfaces, le complément de l'angle que nous avons appelé a à l'article 727; donc, si nous prenons les seg-

ments Yu et vu pour rayons des cercles de gorge, les deux hyperboloïdes auront des axes non transverses de même grandeur et se raccorderont.

Nous rapportons en &> sur o'O' le point de division u du segment pV, qui est égal à la distance des axes de révolution, et nous traçons la projection verticale A'wA'j de la génératrice de contact.

Nous prenons sur cette droite une longueur (AA,, A'À'j) partagée en deux parties égales par le point central (0, w), et nous limitons chaque surface aux parallèles qui passent par les points extrêmes (A, À'), (A<t A't); uous déterminons facilement les traces horizontales de leurs plans, puis leurs centres (M, M'), (M,, M't), (m, m')% (ml9m\), et ensuite leurs rayons, qui sont les vraies grandeurs des lignes (MA, M'A'), (m A, m'A!). Nous avons alors les longueurs des droites qui sont les projections horizontales des parallèles, et nous pouvons tracer les ellipses qui forment leurs projections verticales.

730. Le contour apparent de chaque surface sur le plan horizontal est une hyperbole méridienne; son axe transverse est égal au diamètre du cercle de gorge, et son axe non transverse au double de la longueur Ou. La ligne AA,, projection d'une génératrice horizontale, est une des asymptotes; on détermine facilement l'autre, qui est GGf pour le premier hyperboloide et ggt pour le second.

Les contours apparents par rapport au plan vertical sont les sections des surfaces par les plans diamétraux qui sont conjugués avec les projetantes (art. 717), et dont par conséquent les traces horizontales sont, par rapport aux projections des hyperboles méridiennes horizontales, les diamètres conjugués à la direction 00'. On obtient facilement ces droites en opérant sur les asymptotes.

Nous traçons entre les lignes GG4 et ggt une droite S*, parallèle à A4 A; nous prenons les longueurs OS, et 0$, respectivement doubles des segments OS et 0$, et les diamètres PP< et op% parallèles à S,R et j,R sont les traces des plans cherchés (').

Pour chaque hyperboloide, Taxe vertical de l'hyperbole qui forme le contour apparent est égal au diamètre du cercle de gorge; on peut déterminer ses asymptotes de diverses manières. Nous les considérerons comme les intersections du cône asymptote par le plan de la courbe.

Le plan vertical LF coupe le cône asymptote du premier hyperboloide suivant un cercle dont le rayon est MG; si nous rabattons ce cercle sur le plan horizontal qui contient Taxe de révolution, nous déterminerons l'ordonnée Vn" de la trace de la génératrice PP, du cône asymptote. Prenant nn' et n{rii {fig. 3r5) égaux à Pn" (Jig. 3i4)t nous obtenons les points n' et 7r't qui déterminentjes asymptotes OV et 0'it\ . Nous n'avons pas prolongé ces droites au delà du centre 0' par

(') Cette construction est analogue à celles des articles 598 et 643.