CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE

crainte de confusion, et pour le même motif nous n'avons pas conservé sur la figure les asymptotes du contour apparent de l'hyperboloïde supérieur.

Si le plan vertical PPf n'avait rencontré le cône asymptote qu'à son sommet, le contour apparent de l'hyperboloïde aurait été une ellipse.

731. Nous avons tracé sur chaque hyperboloïde onze génératrices du système auquel appartient la génératrice de contact, en les disposant de manière à partager avec elle la surface en douze parties égales. Pour cela, le parallèle extrême LF ayant été rabattu comme nous l'avons dit plus haut, nous l'avons divisé en douze parties à partir du point A", qui se projette en A. Afin de dégager la figure, nous avons placé l'une sur l'autre les deux moitiés supérieure et inférieure du parallèle : le point de division qui arrivait en G" a été ainsi ramené en G".

La division du parallèle extrême du second hyperboloïde a été faite de la même manière.

732. D'après ce que nous avons vu à l'article 628, les hyperboloïdes peuvent se raccorder, le long des deux mêmes génératrices réunies en une 'seule droite, dans trois autres positions relatives; mais il n'y en a qu'une qui soit réellement différente, celle que l'on obtiendrait en faisant tourner une des surfaces de 1800 autour de la génératrice de contact. Si l'un des hyperboloïdes tournait de 1800 autour de la normale commune au point central (0, w), par suite des symétries qui existent, le système des surfaces présenterait les mêmes apparences.

Avec les données que nous avons choisies, on aurait reconnu que les centres des hyperboloïdes devaient être d'un même côté du point central, et par conséquent que l'un d'eux devait se trouver dans l'intérieur de l'autre, si la perpendiculaire Vt> à la projection AA, de la génératrice de contact avait rencontré les axes MM, et mms d'un même côté de cette droite [fig. 3i4). Les rayons w et uS eussent été en effet de même signe.

733. Quand deux hyperboloïdes A et A, se raccordent le long d'une génératrice G, un plan contenant cette ligne et un point N de leur intersection les touche en un point M de G et coupe chacun d'eux suivant une génératrice (art. 617, 692). Ces droites, passant par les points M et N, se confondent nécessairement. L'intersection complète est donc formée de lignes droites.

Les surfaces étant du second ordre, la projection de l'intersection est donnée par une équation du quatrième degré qui doit se décomposer en deux équations du second, dont l'une représente deux fois la génératrice G; l'autre correspond à deux droites réelles ou imaginaires.

734. Les génératrices d'intersection sont évidemment parallèles à celles suivant lesquelles se coupent les cônes directeurs, en les supposant placés de manière à avoir leurs sommets en un même point; mais il importe de voir que, toutes les fois que les cônes auront des droites communes, les hyperboloïdes se couperont suivant des droites parallèles à celles-là.

Les génératrices B et B, des deux surfaces qui passent par un point quelconque C de la génératrice de contact G sont, ainsi que cette droite, dans le plan tangent en C; leurs homologues b, bt et g, sur les cônes directeurs, sont donc aussi dans un même plan, et par suite tout plan passant par g coupe les cônes suivant deux droites dont les homologues sur les seconds systèmes des deux hyperboloïdes se croisent en un point de G. Par conséquent, si les cônes se coupent le long d'une droite, les génératrices homologues de cette ligne dans les seconds systèmes passeront par un même point, et, comme d'ailleurs elles seront parallèles, elles se confondront.

Les cônes, étant tangents le long de g9 doivent se couper suivant deux droites (réelles ou imaginaires) qui peuvent se confondre en une seconde génératrice de contact : les hyperboloïdes ont donc deux droites d'intersection (réelles ou imaginaires) ou une nouvelle génératrice de raccordement qui n'appartient pas au même système que la première.

735. Sur hjig- 3i4, les cônes asymptotes sont projetés sur les espaces angulaires GOA et G, OA, , gOA et gt OAf qui n'ont pas de partie commune. Leurs projections seront les mêmes, si on les transporte verticalement, de manière à faire coïncider leurs sommets en un point de la verticale du point 0; les cônes directeurs ne se coupent donc pas, et les hyperboloïdes n'ont en commun que la génératrice AA,.

Nous avons représenté en projection horizontale, sur la fig. 3i6f deux hyperboloïdes de révolution en contact, comme les précédents, le long d'une génératrice, mais tels, que les projections des cônes asymptotes se superposent en partie. Nous allons rechercher si les hyperboloïdes ont des génératrices communes : nous ferons les opérations à l'aide de la seule projection horizontale et des plans verticaux auxiliaires perpendiculaires aux axes non transverses. Les lettres indiquent la concordance desjig. 3 1 4 et 3i6.

Lorsque les cônes ont été transportés verticalement de manière que leurs sommets coïncident, leurs sections par les plans verticaux//, b{hh, YL et B^Hi sont des cercles situés sur une même sphère dont le centre est en 0 et dont le rayon est OA; donc le point Q où se coupent les traces AG et A<#, est la projection de deux points de rencontre des cercles. Si nous rabattons le plan FL, nous pourrons placer en Q' l'un des points qui se projettent horizontalement en Q, et alors les droites OQ, 3V1Q' seront les projections horizontale et verticale d'une génératrice d'intersection des cônes. Pour éviter la confusion sur le plan horizontal, nous avons rabattu les parties inférieure et supérieure du plan vertical Tune sur l'autre; d'après cela, nous aurons la projection verticale de la seconde génératrice d'intersection en considérant la droite MQ' comme appartenant au second rabattement.

11 est maintenant facile de déterminer les génératrices d'intersection des hyper.