CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE. 2o

boloïdes : ce sont les droites (Rr, R"p) et (S$, S'*) appartenant aux seconds systèmes et respectivement parallèles à la ligne (OQ, MQ') dans ses deux positions.

Sur le plan vertical FL, les points qui sont dans leur véritable position par rapport à la trace A' de la génératrice de contact sont indiqués par des lettres ayant un seul accent, et ceux qui devraient être de l'autre côté de la ligne de terre et qui ont été ramenés du côté des premiers, par des lettres ayant deux accents. On voit d'après cela que les droites (Rr, R"p) et (S*, S'cr) rencontrent le plan vertical FL, la première au-dessous du centre M et la seconde au-dessus de ce point.

Nous avons vérifié les tracés en faisant les déterminations à l'aide du plan vertical//, perpendiculaire à l'axe du cône supérieur. Nous avons mis un seul accent aux lettres qui désignent les points dont la position par rapport à la trace a! n'a pas été modifiée.

Les droites (Rr, R"p) et (S$, S'a) rencontrent la génératrice de contact aux points a et jS; elles ne sont vues que sur de petites longueurs, depuis les points X et /x, où elles touchent le contour apparent de l'hyperboloïde supérieur, jusqu'aux points R, et S, situés sur les bases de l'hyperboloïde inférieur. Au delà de ces points, elles seraient encore vues sur la première de ces surfaces, mais elles ne sont plus lignes d'intersection (*).

736# Les cônes et par suite les hyperboloïdes se coupent toutes les fois que la somme des angles gOA et AOG est supérieure à 1800, c'est-à-dire quand l'angle MO/w, qui est formé par les axes et qui comprend la génératrice de contact OA, est obtus. Quand cet angle est droit, les secondes asymptotes GG, et ggi des hyperboles méridiennes se réunissent en projection sur le plan horizontal, et les génératrices du second système qui leur sont parallèles dans le plan tangent en w (fig. 3i5) se confondent également. Comme, d'ailleurs, les surfaces se touchent en ce point central, et que le paramètre est le même, les deux génératrices réunies forment une seconde droite de raccordement.

En analysant les constructions de lay?g\ 3i6, on reconnaît facilement que, dans le cas qui nous occupe, les lignes d'intersection Rr et S* se confondent avec la nouvelle génératrice de contact.

737. Les droites vO et VO {fig. 3i4) étant supposées à angle droit, chaque cercle de gorge est dans le plan méridien de l'autre surface; on a d'ailleurs

tangwOV tangwO? = i ( a ) ou

(') L'intersection des hyperboloïdes se dessine très-bien sur une projection verticale. La construction de cette projection est un bon exercice graphique.

(3) Si nous mettions les signes en évidence, le produit des tangentes serait — i, ce qui indiquerait que les rayons R et r doivent être dirigés en sens contraire à partir du point de contact.

Si Ton appelle R et ries rayons des cercles de gorge, et c la longueur Ou qui est celle des demi-axes non transverses des hyperboles méridiennes des deux surfaces (art. 729), l'équation précédente deviendra

Les rayons de courbure des hyperboles méridiennes a leur sommet o> sont-

et —%\ la formule que nous venons de trouver exprime donc que, quand deux

hyperboloïdes de révolution se raccordent le long de deux génératrices, chaque cercle de gorge est osculateur de l'hyperbole méridienne de l'autre surface, et, comme ces courbes ne se traversent pas, le contact s'élève au troisième ordre.

738. Dans le cas de \& Jîg* 3i6, si Ton ne conservait de chaque surface que les parties respectivement comprises entre les cercles de gorge et les bases fl et FL, les hyperboloïdes se toucheraient sans se couper.

Si l'un des hyperboloïdes était dans l'intérieur de l'autre, les cônes directeurs, placés de manière a avoir leurs sommets en un même point, n'auraient en commun que leur génératrice de contact, et par conséquent les surfaces ne se couperaient pas. Il est d'ailleurs facile de voir, sur la fig. 3i6, que, si l'un des hyperboloïdes faisait une révolution de 1800 autour de la droite A, A, le point d'intersection analogue à Q serait sur les prolongements des projections des bases, et que par suite il ne correspondrait à aucun point de la sphère que nous avons considérée.

Hyperholoïde employé comme surface auxiliaire.

739. Soit G une génératrice d'une surface gauche déterminée par trois directrices A, B et C (Jîg. 236); en remplaçant les courbes par leurs tangentes R, S et T aux points mf n et p où elles rencontrent la génératrice, on obtient un hyperboloïde qui touche la surface à ces points et qui, par conséquent, se raccorde avec elle tout le long de G.

Quand les trois tangentes sont dans un même plan, Thyperboloïde se réduit à ce plan, qui est le plan tangent unique de la surface en tous les points de la génératrice, sauf au sommet, car il y en a nécessairement un à distance finie ou à l'infini (art. 629).

Lorsque deux tangentes R et S sont dans un même plan, et que la troisième T ne s'y trouve pas, la surface a un sommet en p. Le plan de rebroussement en ce point est déterminé par les droites G et T, et le plan des droites R et S est le plan tangent unique de la surface à tous les autres points de G.

Les raisonnements que nous avons présentés à l'article 614 ne sont pas appli-