CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE. 2o

cables sans restriction à ces cas, car ntfus avons supposé que tout plan sécant coupait les deux génératrices consécutives en deux points distincts, ce qui n'a pas lieu à un sommet.

740. Dans le cas général, quand deux quelconques des tangentes ne sont pas dans un même plan, la surface est un hyperboloïde (ou un paraboloïde), et il y a raccordement. Si maintenant on suppose que la directrice T tourne autour du point/? et dans le plan tangent en ce point, l'hyperboloïde se modifiera en restant toujours tangent aux divers points de G, et il sera un paraboloïde quand la directrice mobile T se confondra avec l'intersection du plan tangent enp avec un plan passant en ce point et parallèle aux deux directrices R et S. Nous obtenons ainsi une infinité d'hyperboloïdes et un paraboloïde, tous de raccordement.

En considérant l'une quelconque des positions de T et faisant tourner séparément chacune des deux autres directrices rectilignes dans son plan tangent, nous obtiendrons d'autres hyperboloïdes qui seront des paraboloïdes dans toutes les positions, en nombre infini, où les trois tangentes directrices se trouveront parallèles à un même plan.

741. Considérons une génératrice G d'une surface gauche et une droite D située d'une manière quelconque dans l'espace, sous la seule condition de ne pas rencontrer G : trois plans passant par D coupent la surface suivant trois courbes A, B et C dont les tangentes R, S et T aux points où elles rencontrent G déterminent un hyperboloïde de raccordement sur lequel D est une génératrice du même système que G, car elle rencontre les trois directrices R, S et T; les génératrices de l'autre système rencontrent les deux droites G et D, et sont tangentes aux différentes sections faites dans la surface par des plans passant par D. Nous concluons de là deux théorèmes :

i° Si ton coupe une sur/ace gauche par une série de plans passant par une droite, les tangentes de toutes les sections aux points situés sur une même génératrice formeront un hyperboloïde.

2° On peut toujours déterminer un hyperboloïde qui touche une surface gauche le long d'une génératrice et qui contienne une droite non située dans un même plan avec la génératrice, mais d'ailleurs quelconque.

On peut considérer un hyperboloïde de raccordement comme déterminé par la génératrice G, la génératrice de la surface gauche qui lui est infiniment voisine et une droite D. L'hyperboloïde se change en un paraboloïde quand ces trois droites sont parallèles à un même plan, et par suite quand la droite D est parallèle au plan tangent de la surface au point de G situé à l'infini (art. 592).

742. Les hyperboloïdes de raccordement à une surface gauche le long d'une génératrice G ont les mêmes plans tangents aux divers points de cette droite, et notamment à celui qui esta l'infini; mais chaque plan tangent d'un hyperboloïde à l'infini contient le centre de cette surface (art. 683, 692); donc tous les hyper-

boloïdes de raccordement à une surface gauche le long d'une génératrice ont leurs centres dans un même plan, qui n'est autre que le plan tangent à V infini.

743. Tout hyperboloïde de révolution dont l'axe non transverse est double du paramètre de la génératrice considérée sur la surface gauche peut être placé de manière à se raccorder avec elle (art. 628 et 727); une surf ace gauche se raccorde donc avec une infinité d' hyperboloides de révolution le long d'une génératrice donnée. Les centres de ces hyperboloides sont évidemment sur la normale au point central.

Une normale à une surface de révolution coupe l'axe; toutes les normales à une surface gauche aux divers points d'une génératrice G rencontrent donc les axes des hyperboloides de révolution qui se raccordent avec la surface le long de G, et par suite ces axes forment les génératrices du second système du paraboloïde des normales (art. 620).