Le triangle rectangle OMm (fig. 3a6) donne

5M*=aa-hj5a.

Si la longueur a est infiniment petite, la quantité |S*, d'ordre plus élevé que a*, peut être négligée, et l'on a

OM = a.

Par conséquent, dans la formule (j), on peut prendre indifféremment pour a l'abscisse O/rc du point M infiniment voisin de 0, ou la corde OM, ou encore l'arc OM, car il ne diffère de sa corde que d'un infiniment petit du troisième ordre. Cette corde est, en effet, le double du sinus de la moitié de l'arc, et le sinus d'un arc infiniment petit est égal à l'arc lui-même quand on néglige les infiniment petits du troisième ordre. Nous ne faisons pas de distinction entre les ares OM de la courbe u et du cercle, parce qu'on doit les considérer comme se confondant à la limite.

Si Ton représente par £ l'angle de contingence, on aura

et, en vertu de l'équation (i),

Re = a,

77Î). Pour déterminer à l'aide de la formule (i) le rayon de courbure d'une ligne plane, en un point donné, on prend la tangente et la normale en ce point pour axes des abscisses et des ordonnées. On fait ensuite l'abscisse j? infiniment petite : l'ordonnée y devient infiniment petite du second ordre; on néglige les

termes d'un ordre plus élevé, et la valeur de — : donnée par l'équation est le ra\on cherché.

CHAl'ITKE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. 3

Par exemple, si nous voulons avoir le rayon de courbure de l'ellipse en un de ses sommets, nous remarquerons que, la tangente et la normale en un sommet étant prises pour axes, cette courbe est représentée par l'équation

Lorsque l'on suppose x infiniment petite, y devient infiniment petite du second ordre, et son carré doit être négligé. Nous avons alors

On déduit facilement de cette formule la construction que nous avons donnée sans démonstration dans la seconde note de l'article 495.

780. Pour second exemple, nous chercherons l'expression générale du rayon de courbure de la parabole représentée par l'équation

y2 — 2px = o.

Nous prenons le point A considéré sur la courbe pour origine d'un nouveau système d'axes rectangulaires, formé par la tangente Ax et par la normale Ay' à la courbe en ce point. L'angle de Ax' et de l'axe primitif des x étant 0 et l'ordonnée du point A étant j,, les formules de transformation des coordonnées sont

x = .r'cosô — y'sinô ■+- — >

y = x'smB -h j'cosô -4- y,.

L'équation de la parabole devient

x'2 sin20 -h 2x'y' sinôcosS -f- y'2 cos2ô

-+- 2(yt sinô — pcosQ)x'-h 2(yt cos0 -h ps\nô)y' = o.

Pour que l'axe des abscisses soit tangent à la courbe, il faut que la valeur zéro de v' donne pour x' deux valeurs nulles, et par suite que le coefficient du terme qui contient la coordonnée x seule et à la première puissance s'évanouisse. Nous avons donc

\a) . y, sinS — pcosQ — o,

.r'2sin20 -h 2xy sinôcosS 4- y'2cos20 ■+- 2(y, cos0 -+- psinG)y' — o.

Lorsque x' est infiniment petite, y devient infiniment petite du second ordre;

supprimant les termes d'un ordre plus élevé, on a

.r'2 sin2G-i- 2(y, cosô -t-/?sin$)y = o;

d'oii

p >'i cosô H-/> sinô

sin*0 Éliminant enfin 6 au moyen de l'équation (0), on obtient

On trouve par cette formule que le rayon de courbure au sommet est égal k p.

Théorème de M. Joseph Bertrand. — Théorème d'Euler.

Indicatrice.

781. Nous avons vu que toutes les courbes qui sont tracées sur une surface, et qui se croisent en un point, y sont tangentes à un même plan; nous allons maintenant étudier plus intimement les relations qui existent entre ces lignes.

Soient

OZ la normale à une surface en un point O (Jig. 327);

OX et OY deux tangentes rectangulaires quelconques ;

(KM et ON les sections de la surface par les plans ZOX et ZOY.

Nous prenons sur OX et OY des longueurs infiniment petites égales à O/w et O//, et par les points m et n nous concevons des plans respectivement parallèles à ZOY et à ZOX; ils coupent le plan XOY suivant les droites mp et np, et la surface suivant les courbes MP et NP se rencontrant en P.

La surface étant continue, le rayon de courbure de la ligne MP au point M ne diffère que d'une longueur infiniment petite du rayon de courbure de la ligné ON au point O; les longueurs des ordonnées |3 correspondant à une même grandeur de a sont donc égales pour ces deux courbes (art. 777), et par suite, si la tangente à MP au point M était la droite MY' parallèle à OY, l'ordonnée pV serait égale à (/«M 4- «N). Il résulte de là que l'angle infiniment petit, compris entre la tangente à MP au point M et la droite MY', est égal à

m M -nS pV mp

Mais cet angle est aussi égal à celui que la normale ME à MP fait avec la