CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE
droite ME, parallèle à OZ; on a donc
(3) âÈt = "* + »"-'*.
x ' ' mp
On trouve de même
np
Enfin, les longueurs /wp et np étant égales, on a
ÉME, = GNG,.
La droite ME est dans le plan Mmp qui n'est pas normal à OM, et par suite elle n'est pas normale à la surface. Pour la rendre normale, il faut la faire tourner autour de la tangente à MP en M, jusqu'à ce qu'elle soit perpendiculaire à OM : mais la tangente à MP faisant avec le plan ZOX un angle qui ne diffère d'un droit que d'une quantité infiniment petite, et le déplacement de la droite ME étant luimême infiniment petit, l'angle qu'elle fait avec le plan ZOX n'est altéré que d'une quantité infiniment petite d'un ordre élevé. Les angles infiniment petits que les normales à la surface aux points M et N font respectivement avec les plans ZOX et ZOY sont donc égaux aux angles EME, et GNG,, et par suite égaux entre eux. De là résulte un théorème dû à M. J. Bertrand (*), et que nous énoncerons plus loin.
782. Soient MF la normale à la surface au point M, et MF, sa projection sur le plan ZOX. Nous nous proposons de déterminer Tordre de grandeur de la différence des angles EME, et FMF,.
Les droites ME,, MF, et MP forment un trièdre dans lequel le dièdre le long de ME, est droit; on a donc
cosPMF, = cosPME, cosE,MF,.
Mais les angles PMF et PME sont droits; nous pouvons par conséquent écrire
cos(<)o0h- FMF,) = Cos(()o04- EME,) cosE.MF, ou bien
sinFMF, ■= sinEME, cosE,MF, ;
(!) Journal de M. Linuville, i844-
L'étude des systèmes de droites qui ne. sont pas normales à une surface est en dehors de notre cadre. Les personnes qui voudraient connaître cette question peuvent consulter le Mémoire de M. J. Bertrand, et les développements qui ont été donnés à cette partie de son travail par Duhamel (Éléments de Calcul infinitésimal, t. II).
et, comme les trois angles FMF,, EME, et E,MF< sont infiniment petits, il suffît de négliger dans chaque membre les termes du troisième ordre pour avoir
FW.^EME,.
785. Nous appellerons déviation de la normale a une surface, en un point M voisin d'un point considéré 0, l'angle FMF, formé par la normale en M avec le plan ZOM qui contient le point M et la normale en O('). On peut, en employant cette expression, énoncer comme il suit le théorème de M. J. Bertrand : Les déviations des normales en deux points d*une surface ', situés à des distances infiniment petites égales d'un piint considéré et dans des directions rectangulaires, sont égales en grandeur absolue.
Sur \à fig. 327, les droites MF et NH situées d'un même côté de la surface sont toutes les deux dans l'angle dièdre XOY. Cela résulte de ce que l'ordonnée pV est plus petite que la somme (mM -f- /iN), qui exprime la hauteur à laquelle serait le point P si la déviation était nulle; mais, quand le trinôme (wM -t- nN — />P) est négatif, les droites MF et NH sont hors du dièdre XOY.
Si l'on conçoit que le plan ZOM tourne autour de OZ, la déviation de la normale au point mobile M variera, et, lorsque le plan sera confondu avec ZON, la partie de la normale située au-dessus de la surface sera d'un côté différent de celui où elle se trouvait, quand le plan avait sa position initiale. Il y a donc pour le plan au moins une position intermédiaire où il contient la normale au point situé sur sa trace, à une distance infiniment petite de 0. Il jouit d'ailleurs de la même propriété dans une seconde position perpendiculaire à la première.
