En mettant l'équation (4) sous la forme
k = Kl + {wt-k)*in'*-
on reconnaît que ~ varie toujours dans le même sens, depuis ~- jusqu'à ~*
lorsque 9 croît de o à ±190°. Les rayons R, et R2 sont donc les limites des valeurs de R; l'un est son seul maximum, et l'autre son seul minimum. Il résulte de laque les sections normales ZOM et ZON {Jig. 3a8)ontdes positions détermi-
(l) Recherches sur la courbure des surfaces (Mémoires (le l'Académie de Berlin. 1760).
nées, et que Ton ne peut pas faire passer par OZ des plans autres que ZOX etZOY, et dont les sections soient telles que la normale à la surface au point voisin de 0 rencontre OZ.
On appelle sections principales d'une surface en un point les deux sections normales à la surface et perpendiculaires entre elles, dont les rayons de courbure en ce point sont l'un maximum et l'autre minimum. Les plans des sections principales contiennent les normales à la surface aux points infiniment voisins de celui que l'on considère. Ces plans sont appelés plans principaux, et les rayons de courbure de ces sections rayons principaux. •
786. Si l'on désigne par R' le rayon de courbure de la section contenue dans le plan normal perpendiculaire à celui dont l'azimut est ?, on aura
L = Lsin>? + Lcosa?.
Ajoutant cette équation à l'équation (4)» on obtient
r + pp — n; + ÏT,'
Par conséquent, en tout point d'une surface, la somme des courbures de deux sections rectangulaires quelconques est constante ( * ).
En multipliant l'une par l'autre les équations qui donnent les valeurs de ^ et de tt7> on obtient
rav = râ + ï(i~ib),8in,a*-
787 . Concevons dans le plan G tangent à la surface au point considéré 0 (Jig. 329) une conique dont le centre soit en ce point et dont les axes \m et vX soient tangents aux sections principales MOP et NOL : en appelant a et b les demi-axes Op. et Ov,ple rayon vecteur Or d'un point quelconque t, et 9 son azimut julOt, l'équation de cette conique sera
-^-cos'y+^sin*?.
(!) Cette remarque est duc à M-Ue S. Germain [Journal de Crelle, i83i).
Babinet a généralisé la formule; il a trouvé que si rf, r2, r3, . . . . rfn sont les rayons de courbure des
sections faites par des plans normaux comprenant entre eux des angles égaux — > on a
m\rx rt /3 r,n } i\\\i Kj/
[Comptes rendus, t. XXV.)
