CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

Si les carrés des axes sont proportionnels aux rayons de courbure des sections principales qui leur sont respectivement tangentes, c'est-à-dire si Ton a

(7) a* = Rtc9 i2 = R2<\

c étant une longueur arbitraire, les équations (f\) et (6) donneront

p2=Rc.

R est le rayon de courbure de la section normale SOT déterminée par l'azimut ç, et par conséquent tangente à or.

On voit que la conique dont les axes sont déterminés par les équations (7) est telle que les carrés de ses rayons vecteurs sont proportionnels aux rayons de courbure des sections normales tangentes aces rayons vecteurs. On appelle cette conique indicatrice; elle est déterminée de forme, mais non de grandeur, parce que le paramètre c est arbitraire ( ■ ).

788. En appelant a' et // les demi-longueurs de deux diamètres conjugués de l'indicatrice, R', et R'2 les rayons de courbure des sections normales respectivement tangentes à ces droites, on a

et, comme les deux binômes (a"2-+- b'2) et (a2 4- b2) sont égaux, on obtient

(8) r;-+-r; = ri-+-r2.

Ainsi, la somme des rayons de courbure de deux sections normales dont les plans contiennent des diamètres conjugués de r indicatrice est constante.

789. Nous allons maintenant supposer que l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent au point considéré; nous prenons pour origine le point où la normale rencontre le plan de section ; nous appelons p le rayon vecteur du point de cette courbe qui correspond à un azimut y mesuré à partir du plan de l'une des sections principales; enfin nous désignons, comme précédemment, par R le rayon de courbure de la section normale qui correspond à l'azimut <p. Si la distance z du plan sécant au plan tangent est infiniment petite du deuxième ordre, le rayon p sera infiniment petit du premier, et nous aurons, d'après la formule (1),

(*) La théorie des indicatrices est due ù Charles Dupin (Développements de Géome'tric, Y Mémoire).

lO MVRK VIII. - UH'RRIRE DES SURFACES.

puis, en éliminant R par la formule (4).

ï" = i(;^s2?-f- ji-sin2?.

Bu faisant successivement ? égal à zéro et a 90°, et en appelant a et b les valeurs correspondantes de p, on obtient

et par suite

i = ^cos29-f-^sin2f.

Cette équation représente une conique dont les demi-axes a et b, donnés par les équations (9), sont proportionnels aux demi-axes de l'indicatrice déterminés par les formules (7). C'est l'indicatrice que Ton obtient lorsque Ton attribue au paramétre arbitraire c une grandeur infiniment petite du second ordre zz. D'ailleurs, les ordres de grandeur des quantités infiniment petites nesontque relatifs, et il n'y a pas lieu de préciser Tordre de l'ordonnée z, quand on ne la comparé pas à d'autres longueurs infiniment petites. Nous avons donc ce théorème :

Un plan parallèle au plan tangent à une surface en un point, et infiniment rapproche de lui, coupe la surface suivant une courbe qui, dans la partie voisine du point considère, se confond avec une conique homothè tique de l'indicatrice.

La courbe d'intersection peut s'étendre loin du point et avoir différentes branches. Ces parties éloignées n'ont aucune influence sur les rayons de courbure des sections normales, et par suite aucune relation nécessaire n'existe entre elles et l'indicatrice.

Si la conique est une ellipse, tous ses points seront à des distances infiniment petites du point considéré, et elle se confondra avec une branche complète de la courbe d'intersection; si elle est une hyperbole, elle se composera de deux petits arcs infiniment rapprochés du point, et de prolongements indéfinis dans la direction des asymptotes. Ces prolongements n'appartiennent pas à la section faite dans la surface.

790. Le théorème que nous venons de démontrer est important, et par suite nous croyons utile de l'établir d'une manière directe.

Nous plaçons l'origine au point considéré sur la surface, et nous prenons la normale à la surface en ce point pour axe des z : les deux autres axes seront des droites rectangulaires situées dans le plan tangent. Nous supposons enfin que l'équation de la surface considérée 1 est algébrique.

Quand une courbe plane est rapportée à deux axes situés dans son plan, et