CHAPITRE t. - THEORIE GENERALE

qu'elle touche celui des abscisses à l'origine, son équation ne renferme ni terme constant, ni terme contenant l'abscisse seule et à la première puissance ; car, parmi les valeurs de l'abscisse qui correspondent à la valeur zéro de l'ordonnée, il faut qu'il y en ait deux qui soient nulles. Par les mêmes motifs, notre surface 1 étant tangente à l'origine au plan des deux axes des x et des j, son équation doit être dépourvue du terme constant et des termes dupremier degré en .reten y. Si nous ne considérons que la partie voisine de l'origine, et pour laquelle les coordonnées x et y sont infiniment petites, l'ordonnée z sera infiniment petite du second ordre, et, d'après la composition de l'équation, tous ses termes seront infiniment petits au moins du deuxième ordre. Ceux qui sont d'un ordre plus élevé devant être négligés, on voit que l'équation se réduira a la forme

( 10) A x2 -4- Wxy 4- A'v* + Cz = o.

La partie de la surface 2 voisine de l'origine appartient donc à une surface du second ordre, ou plutôt à toutes les surfaces qui sont représentées par l'équation du deuxième degré

( 1 1) A.z2 + hxy -h AV + Kz* h- K 'zx + K'yz -+- Cz = o,

dans laquelle K, K' et K" sont des coefficients indéterminés, car cette équation devient identique avec (io), lorsque z est infiniment petite du second ordre.

Le théorème que nous avons établi à l'article précédent est une conséquence immédiate du résultat que nous venons d'obtenir. Pour étendre cette démonstration au cas où la surface est transcendante, il suffit de supposer que son équation a été développée suivant les puissances ascendantes entières des variables (').

791. Si l'on considère z comme une quantité constante et infiniment petite du second ordre, l'équation (io) représentera une indicatrice (art. 789). Il suffira donc, pour connaître les positions des sections principales, de déterminer les axes de cette conique. Prenant ensuite ces droites pour axes coordonnés, on aura, pour représenter la courbe, l'équation

Si nous désignons, comme précédemment, par a et b les longueurs des demi-axes, nous aurons

.» là Z > n \j Z

(!'= — -r-, 62=— -T7-; Ai A,

(l) Le théorème (io l'article 789 étant établi directement, nous pourrions, par des raisonnements analogues à ceux do cet article, en déduire la formule d'Euler, qui serait ainsi démontrée d'une seconde manière.

I 2 LIVRE VIII. — COURRl RE DES SURFACES.

d'où, en vertu des équations (9),

Conformément à une observation que nous avons présentée, à l'article 777, un rayon de courbure sera positif ou négatif, suivant que la section tournera sa concavité du coté de Taxe des z, sur lequel on mesure les ordonnées positives, ou de l'autre coté.

792. Lot'squ'en un point commun les sections principales de deux surfaces sont deux à deux dans les mêmes plans et osculatrices, leurs sections par un plan normal quelconque ont des rayons de courbure égaux. On dit alors que les surfaces sont osculatrices.

La surface du second ordre représentée par l'équation (11) est osculatrice de la surface considérée X, car cette équation devient identique avec (10) lorsque l'on suppose que l'ordonnées est infiniment petite du second ordre, et par suite les plans et les rayons de courbure des sections principales sont les mêmes dans les deux surfaces pour le point qui esta l'origine.

Quand on donne à - une valeur finie et constante, l'équation (n) représente une section de la surface par un plan parallèle à celui ûe&xy, et cette section est une conique hornothétique de celle que l'on obtient en attribuant à z une valeur infiniment petite du second ordre, caries coefficients des termes du second degré sont les mêmes; elle est donc aussi hornothétique de l'indicatrice (art. 789).

Une surface quelconque est osculée en un point donné par une infinité de surfaces du second ordre, et les sections de ces surfaces par des plans parallèles au plan tangent en ce point sont des coniques homothètiques de l'indicatrice.

Quand K' et K" sont nuls, on a

(i/j) A x* -+- B.rv H- AV + Kz2 + Cz = o.

Cette équation représente une surface du second ordre dont Taxe des z est un axe, et dont, par conséquent, un des sommets est à l'origine point d'osculation. Comme d'ailleurs l'équation contient encore un coefficient arbitraire, nous voyons (\\11tne infinité de surfaces du second ordre sont osculatrices en un de leurs sommets dune surface quelconque en un point donné.

Dans le paragraphe suivant nous reviendrons par d'autres considérations sur la théorie de ces surfaces osculatrices.

Des raisonnements analogues à ceux que nous venons de présenter font aisément trouver les équations des surfaces algébriques qui ont avec la proposée, en un point donné, un contact d'un ordre déterminé et supérieur au second.