CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

Discussion de la formule d'Eu 1er.

793. Cas où les deux rayons principaux sont de même signe. — Nous allons maintenant chercher les conséquences de la formule d'Ëuler dans les différents cas qui peuvent se présenter. Nous supposerons d'abord que les deux rayons principaux sont de même signe, et nous les considérerons comme positifs.

On voit facilement que le rayon de courbure 11 est toujours positif, et compris entre R2 et R, (art. 785). Si nous prenons sur la normale OZ (Jig. 329) des longueurs OË et OF respectivement égales à R, et à R2, le centre de courbure d'une section quelconque SOT sera en un point C du segment FË. Il en résulte que près du point 0 la surface est entièrement d'un même côté de son plan tangent, et qu'elle n'a, par conséquent, que ce point de commun avec lui.

Les carrés a2 et b- donnés par les équations (7) sont de même signe, et positifs quand on attribue à c une valeur positive. L'indicatrice est donc une ellipse. On appelle surfaces convexes celles dont, en tous les poirks, les indicatrices sont des ellipses.

Quand les valeurs de 11, et de \\2 sont égales, l'indicatrice est un cercle, et les rayons de courbure de toutes les sections normales sont égaux. On appelle ombilics les points singuliers où cette circonstance se présente.

794. Quand une surface 2' a en un point 0' les mêmes rayons principaux qu'une autre surface 1 en un point 0, on peut évidemment la placer de manière que, le point 0' étant confondu avec le point 0, elle soit osculatrice de 1.

Considérons un ellipsoïde scalène (Jig. 33o) : au sommet 0' les deux sections principales sont les ellipses principales M'O'P' et N'O'L', car la normale O'K est rencontrée par les normales à la surface aux différents points de ces courbes, el notamment à ceux qui sont infiniment voisins de 0'. Si nous appelons a, b et r

les demi-axes KM', KN' et KO', les rayons de courbure principaux seront — et —

(art. 779). Par conséquent, pour que l'ellipsoïde puisse être rendu osculateur en son sommet 0' de la surface 2 au point 0 (Jig. ^29), il faut et il suffît que l'on ait

R, et R2 étant les rayons principaux de la surface I au point 0.

Il n'y a que deux équations pour déterminer les trois demi-axes a, b et c; une surface convexe a donc pour chacun de ses points une infinité d'ellipsoïdes oscillateurs en un de leurs sommets. Si l'on *° donne la position du centre de l'ellip-

l4 LIVRE Mil. - COURBURE DES SURFACES.

soïde sur la normale, le demi-axe c sera déterminé, et les équations (i5) feront connaître les demi-axes a et b; ils seront toujours réels quand c sera positif, et par suite tout point de la normale situé du coté de la concavité de la surface est le centre d'un ellipsoïde oscillateur. Si l'on donnait à c des valeurs négatives, a2 et b- seraient négatifs, et l'on aurait des hyperboloïdes à deux nappes osculaleurs en un de leurs sommets.

Si Ton prend pour axes coordonnés les droites Otu, Ov et OZ {Jig. 32c>), l'équation de l'ellipSoïde oscillateur sera

Quand le centre de l'ellipsoïde est au point K, centre de courbure de la sec — tion principale MOP {Jig. ^29), on a

17) c = Rit tf = R,, ft = v'MÛ.

et la surface osculatriCe est de révolution autour de l'axe parallèle à v).. Kll « serait de révolution autour de l'axe parallèle à arc si son centre était en F.

793. Dans un ellipsoïde oscillateur en l'un de ses sommets, l'ellipse principauté située dans un plan parallèle au plan tangent commun est homothètique de l'indicatrice, caries équations (i>) qui en déterminent les axes sont identiques aux équations (7) qui donnent les axes de l'indicatrice. La distance O'K du centre de l'ellipsoïde au point considéré {Jig. 33o) est le paramètre arbitraire qui en In» dans les expressions des axes de l'indicatrice.

Toute section de l'ellipsoïde oscillateur que nous considérons, par un plan parallèle au plan tangent commun, est une ellipse fin' m homothètique de l'ellipse principale P'N'M', et par conséquent homothètique de l'indicatrice. Ce résultat est d'ailleurs une conséquence du théorème plus général de l'article 792.

796. Cas où les rayons de courlmre principaux sont de signes différents. — Les équations (6) et (7) montrent que, quand les rayons principaux sont de signes différents, l'indicatrice est une hyperbole dont les asymptotes font avec la tangente de la première section principale un angle <I> pour lequel on a

18) taiig* = ±i/~ JJ2.

Nous traçons dans le plan tangent au point considéré 0 {Jig. 33 1) les droites OX et OY, respectivement tangentes aux sections dont les rayons sont R, et IL. et les droites V, V et U,r faisant avec OX l'angle * : toute hyperbole dont ces lignes sont les asymptotes peut être prise pour indicatrice. Nous considérons celle