CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. I

qui a ses sommets en des points \x et n situés sur Taxe OX a une distance arbitraire du point 0. Si R, est positif, elle correspond à une valeur positive du paramètre c. Les rayons de courbure étant proportionnels aux carrés des rayons vecteurs de l'indicatrice, le rayon R de la section faite par le plan normal <|ui a pour trace sur le plan tangent la droite aOx est donné par l'expression

Lorsque le point t parcourt l'hyperbole, le rayon vecteur Or varie de Ou à l'infini, et le rayon de courbure de la section normale, de R, à l'infini. Quand la droite

^Ot est dans l'angle supplémentaire des asymptotes, la quantité Or est négative, et le rayon de courbure R est dirigé en sens contraire des précédents. L'hyperbole qui a ses sommets aux points n et jx n'indique plus les variations du rayon de courbure; mais, si nous traçons une hyperbole dans l'angle supplémentaire des asymptotes, nous aurons une indicatrice qui correspondra à une valeur négative de la constante c, et qui fera connaître les rayons de courbure négatifs.

Quand les valeurs de c qui déterminent les deux hyperboles sont égales en grandeur absolue, on a, en vertu des équations (7),

ïn ____ oV

Rt "" R. ; d'où

o^ —y Râ

et, en ayant égard à l'équation (18),

D'après cela, pour que les longueurs des rayons de courbure obtenues par la considération des deux hyperboles soient comparables entre elles, il faut que les sommets de ces courbes appartiennent à un rectangle ayant les asymptotes pour diagonales.

En résumé, le rayon de courbure dune section normale est positif ou négatif suivant que la trace du plan sécant sur le plan tangent est comprise dans l'un ou dans r autre des deux angles des asymptotes de r indicatrice ; chaque rayon de courinuv principal est, en grandeur absolue, le minimum des rayons de courbure qui ont même signe que lui. Enfin, chacune des deux sections normales dont le plan contient une asymptote de r indicatrice a un rayon de coupure infini, et par suite les asymptotes de V indicatrice ont un contact du second ordre avec la surface.

iG LIVRE VIII. - COURRURE DES SURFACES.

Lorsque les rayons principaux ont des grandeurs absolues égales, les asymptotes de r indicatrice sont rectangulaires, et réciproquement.

Les surfaces qui ont en chacun de leurs points des hyperboles pour indicatrices sont dites à courlmres opposées.

797. Les sections Alites par des plans normaux dont les traces sont comprises dans l'angle UOV ont leur rayon de courbure positif, et sont près du point Of d'un certain côté du plan tangent, par exemple au-dessus; les sections faites par des plans dont les traces sont dans l'angle U,OV ont leur rayon de courbure négatif, et sont au-dessous du plan tangent. Ce plan tangent traverse donc la surface; il la coupe suivant une courbe *> qui a une branche tangente à chaque asymptote, comme nous allons le reconnaître.

La droite <tt touche au point 0, et coupe au point yj, la section par le plan normal C7T. Si Ton fait tourner ce plan autour de la normale au point 0, jusqu'à ce que le point vj arrive en Of la trace <7T acquerra en même temps im contact du premier ordre avec la courbe w, et un contact du second ordre avec la section normale; chacune des asymptotes de l'indicatrice est donc tangente à la courbe « au point 0.

On peut étendre ce résultat aux courbes gauches, en considérant leurs plans osculateurs; ainsi, quand une courbe tracée sur une surface a en un point son plan oscillateur tangent à la surface, elle a pour tangente en ce point une des deux asymptotes de V indicatrice. Il résulte de là qu'une courbe tracée sur une surface convexe ne peut avoir aucun de ses plans osculateurs tangent à la surface.

Revenons à \nfîg. 33 1 . Si la branche Ovj de la courbe a avait une inflexion au point 0, en faisant tourner le plan normal <7r, deux points d'intersection >j etvj, se réuniraient simultanément au point de tangence 0, et le contat't de la section normale avec la tangente VV, de la courbe s'élèverait au troisième ordre. On voit ainsi que chaque asymptote de l'indicatrice a un contact d'un ordiv moins élevé d'une unité avec la section par le plan tangent quavec la section normale.

798. Considérons l'hyperboloïde scalène représenté sur l'àfig. 332 : en raisonnant comme à l'article 794, on reconnaît qu'au sommet 0' les sections principales sont l'hyperbole principale M'O'P', et l'ellipse de gorge N'O'L'. FI est d'ailleurs évident que les centres de courbure E et F de ces lignes sont de cotés différents du sommet 0\ Si leurs rayons de courbure sont égaux aux rayons principaux d'une surface à courbures opposées, en un point donné, on pourra placer l'hyperboloïde de manière qu'il y ait oscillation.

Les équations (i5), qui déterminent les axes d'une surface du second ordre osculatrice en un de ses sommets d'une surface donnée, montrent que, dans le cas qui nous occupe, l'un ou l'autre des carrés a2 vtb2 est négatif, quelle que soit la valeur réelle attribuée à <?, et que par suite la surface du second ordre est un hyperboloïde à une nappe. Quand c est de même signe que U,, c'est-à-dire quand