CHAPITRE I. - THEORIE GENER\LE

le centre de la surface osculatrice est du même côté du point 0' que le point E, a est réel et b imaginaire : les sections qui ont pour rayons R, etR2 sont alors respectivement osculatrices de l'hyperbole principale et de l'ellipse de gorge.

L'hyperboloïde est de révolution, lorsque son centre est au centre de courbure de l'une des deux sections principales.

799. Les asymptotes de l'indicatrice d'un hyperboloïde, en un point quelconque, sont les génératrices rectilignes qui s'y croisent, car ces droites sont des sections normales qui ont des rayons de courbure infinis. On peut aussi remarquer qu'elles forment l'intersection de la surface par son plan tangent.

En raisonnant comme a l'article 795, on reconnaît que l'hyperbole principale dont le plan est parallèle au plan tangent en 0' (fig. 33s?) est homothétique de l'indicatrice de ce point. Cela résulte d'ailleurs de ce que les asymptotes de cette hyperbole sont parallèles aux génératrices qui passent par le point 0.

La section de la surface par un plan parallèle à un plan tangent à cette surface1 et infiniment voisin se confond dans la partie infiniment rapprochée du point considéré, avec une hyperbole que l'on peut prendre pour indicatrice (art. 789).

800. Cas où V un des rayons principaux est infini. — Quand l'un des rayons principaux, R2 par exemple, est infini, la formule d'Euler et l'équation de l'indicatrice deviennent

On a d'ailleurs

a2 = Ktc, p* = Kc.

L'indicatrice se compose de deux droites (j.[i{ et nr,% parallèles à la trace OY du plan de la section principale dont le rayon est infini (fig. 333). Les rayons de courbure des autres sections normales sont finis et de même signe; il en résulte que le plan tangent coupe ou touche la surface suivant une ligne qui a pour tangente au point 0 la droite OY. Cette question sera éclaircie plus tard par quelques exemples.

D'après la première des formules précédentes, pour avoir le rayon de courbure de la section normale dont la trace sur le plan tangent est une droite ()t, on porte sur cette ligne une longueur OE égale au rayon R, de la section principale faite sur OX, puis on trace les droites EE, et E,E2 respectivement perpendiculaires à Ot et à OX : la longueur 0E2 est le rayon cherché.

801. Sur une développable, une génératrice recliligne est en tous ses points une section principale, car les normales aux différents points de cette droite sont parallèles, et par suite dans un même plan. Les indicatrices d'une développable sont donc formées de deux droites parallèles. En un point d'une telle surface, le plan de la seconde section principale est perpendiculaire à la génératrice. Sur un cylindre une section droite est une section principale en chacun de ses points.

IIÏ. — De la Gourxf.rie. — Descriptive . 3

l8 LIVRE VIII. — COURBURE DES SURFACES.

802. Les deux droites dont se compose l'indicatrice peuvent être regardées comme formant la limite, soit d'une ellipse dont l'un des axes s'allonge indéfiniment, tandis que l'autre reste invariable, soit d'une hyperbole dont l'angle des asymptotes tend vers 1800, et dont les sommets sont fixes. Les surfaces qui ont en chaque point un rayon principal infini doivent donc être considérées comme formant une transition entre les surfaces convexes et celles dont les courbures sont opposées. Lorsqu'une surface est en partie convexe et en partie à courbures opposées, en chaque point de la ligne de séparation l'un des rayons principaux est infini.

Sur des surfaces entièrement convexes ou entièrement à courbures opposées, on trouve des lignes en chaque point desquelles l'un des rayons principaux est infini. Ce rayon est alors un maximum, et non une transition de rayons principaux positifs à des rayons principaux négatifs.

803. Quand un plan touche une surface le long d'une courbe, la ligne de contact est en chacun de ses points tangente à une section principale ayant un rayon de courbure infini.

Pour prouver ce théorème, supposons que par deux points M et N de la ligne de contact on fasse passer un plan sécant qui contienne la normale à la surface au premier point M : la section de la surface aura avec la section faite dans le plan tangent deux points de contact M et N, et si l'on fait tourner le plan sécant autour de la normale à la surface au point M, jusqu'à ce qu'il contienne la tangente a la courbe, le point N viendra se réunir à M, et la section aura un contact du troisième ordre avec sa tangente; son rayon sera donc infini. Cette section sera d'ailleurs principale, car les normales a la surface aux deux points M et N sont parallèles, notamment quand la distance de ces points est infiniment petite.

804. Réciproquement, quand une courbe tracée sur une surface est tangente en chacun de ses points à une section principale ayant un rayon de courbure infini, elle est une ligne de contact de la surface avec un plan.

Deux points consécutifs de la courbe appartenant à une section principale dont le rayon est infini, les droites qui y sont normales a la surface se trouvent dans un même plan et sont parallèles. Toutes les normales à la surface aux différents points de la courbe sont donc parallèles, ce qui démontre le théorème énoncé.

805. Une surface est dévcloppable quand elle a en chacun de ses points un de ses deux rayons de courbure infini.

Par chaque point dune telle surface on peut faire passer une ligne tangente en tous ses points aux sections principales ayant un rayon de courbure infini, car, pour deux points infiniment voisins, les plans de ces sections ne comprennent qu'un angle infiniment petit. La surface est touchée par un plan le long de chacune de ces lignes, et par suite elle est l'enveloppe d'une série de plans, c'està-dire développable.