Lorsque l'on fait Ra infini, les équations (7) donnent

et l'équation (16) de la surface du second ordre osculatrice en un de ses sommets

se réduit à

jr* s* — icz \\x c

Cette équation représente un cylindre du second ordre. La génératrice rcctiligne est osculatrice de la section dont le rayon est infini; la section droite est une conique osculatrice en un de ses sommets de la section principale dont le rayon est R,.

807. Cas où les deux rayons principaux sont infinis. — La formule d'Euler montre que, quand les deux rayons principaux sont infinis, les rayons de courbure des sections normales sont tous infinis, et que par suite la surface est osculée par un plan. Quelques surfaces jouissent de cette propriété, soit en des points isolés, soit en tous les points d'une ligne.

808. Cas où l'un des rayons principaux est nul. — Lorsqu'un des rayons principaux est nul, l'autre étant fini ou infini, tous les rayons des sections normales, sauf ce dernier, sont nuls. Cette circonstance se présente aux divers points des arêtes de rebroussement, et aux points isolés où une surface a un plan de rebroussement, tels que les sommets sur une surface gauche (art. 666). Si l'on donne a la constante c une valeur de même signe que le rayon qui n'est pas nul, on trouve que l'indicatrice est un segment de la tangente à la section principale ayant ce rayon. Ce segment de droite doit être considéré comme une ellipse dont un des axes est nul.

Quand en un point d'une surface le rayon d'une section normale est nul, l'un des rayons principaux est nécessairement nul.

Si une courbe ayant un rebroussement tourne autour de la tangente au rebroussement, la surface de révolution qu'elle engendrera aura un point où le rayon de courbure d'une section quelconque sera nul.

Constructions diverses relatives aux rayons de courbure des sections

normales.

809. Construction du rayon de courbure d'une section normale. — On peut mettre l'équation (4) sous la forme

« __ RiRt

R, sin^-t-RjCOS*©

20 LIVRE Mil. - COUKBI'IIE DES SI HIWCES.

Le dénominateur est la somme des longueurs que Ton obtient lorsque Ton projette deux fois le rayon R, sous l'angle (90° — o) et le rayon R2 sous l'angle 9. La formule conduit donc à une construction qui n'exige que la règle et le compas, pour la détermination du rayon R d'une section normale, lorsque l'on connaît l'azimut du plan de cette courbe et les rayons principaux.

Quand on doit déterminer les rayons de plusieurs sections normales, une méthode simple consiste a employer une courbe dont la considération est due à Euler('). On déduit de la formule précédente

/ \ n aR,R4

(Ri-i-Rj) — (R,— R,)cos2<p

Si l'on regarde R comme un rayon vecteur correspondant à l'azimut 29, celtr équation sera celle d'une conique rapportée à l'un de ses foyers et à l'axe qui y passe. Les demi-axes de cette courbe sont