CHAPITRE I. - THEORIE GENERALE
La construction est en défaut quand les rayons R, R' et R" ne sont pas de même signe. On peut alors recourir à la conique dont nous avons parlé à l'article précédent, et le problème est ramené a la détermination d'une conique dont on connaît un foyer et trois points.
Nous ne nous arrêterons pas à exposer la solution détaillée des deux problèmes graphiques indiqués en cet article, parce qu'ils n'ont pas d'utilité dans les applications. II importait seulement d'établir que la courbure d'une surface est déterminée en un point par les rayons de courbure de trois sections normales et les angles de leurs plans.
Grandeur de la déviation. — Paramètres de déviation. Axes de déviation.
811. Revenons maintenant a layîg-. 327, dans laquelle les plans coordonnés ZOX et ZOY sont deux plans normaux rectangulaires quelconques. Nous appelons
à la déviation de la normale au point M, ou l'angle FMF, (art. 783); RM, R^ et RP les rayons de courbure des sections normales OM, ON et OP; R, et R2 les rayons de courbure des sections principales;
© l'angle que le plan ZOX fait avec le plan principal dont la section a pour rayon R, ; l'angle que le plan ZOY fait avec le même plan principal est 90° h- 9.
Nous avons vu que les angles EME, et FMF, sont égaux (art. 782); l'équation (3) donne par conséquent
mp On a d'ailleurs, d'après l'équation (1),
Air Ora XT O/i n 0/> .
2RM 2l\N r 2l\P
Om = On = mp, 0p = 20m. Portant ces valeurs dans l'équation ci-dessus, on obtient
Le théorème d'EuIer donne £ = £;«»•* +£«11»*;
îfc = % cos,(9°°+ ?) -+- n; sinî(9°°+ ?) = ^ sinî? •+- if, cosï?;
k - ^cos'(45»+?) h- ^8in»(45-+ ?) = ^ + ^ - !(£ - ^)«na?.
Introduisant ces expressions dans l'équation qui donne la valeur de â, et appelant, comme précédemment, a la longueur infiniment petite Omt on trouve
» • $=!«(!. .2.) sin2?.
dette formule donne pour la déviation une grandeur positive, quand la partie de la normale intérieure voisine de la surface se projette sur le plan tangent en dehors de l'angle p, mesuré à partir de la section principale ayant le plus grand rayon de courbure. La quantité a doit être considérée comme positive.
L'équation (ao) montre que la déviation atteint sa valeur maximum quand le plan normal partage en parties égales l'angle des plans principaux, et que les déviations des normales sont égales pour des directions symétriques par rapport à ce plan bissecteur. La déviation change désigne à chaque plan principal.
En éliminant l'angle 9 entre les équations (20) et (.>), on obtient (' )
2,] *2=a2(ïïk'--K7R;)•
812. Le rapport des grandeurs infiniment petites x et 5 est une longueur finie que nous représenterons par la lettre K, et que nous appellerons paramênv de déviation. Ce paramètre est infini quand la déviation est nulle. Nous avons
(20 bis) K = £(£"£) ""f*
{2lhis) h = ïïïf - R7ïï7
Supposons maintenant que Ton trace dans le plan tangent en M une courbe
1 l ) Los formules (20) et (11 ) sont dues, la première à M. J. Bertrand ( Mémoire cité à l'article 781 ), la seconde à M. Lamarle (Exposé géométrique, 3e Parlie).
