CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE

telle que les carrés des rayons vecteurs issus du point M soient proportionnels aux paramètres de déviation des sections normales tangentes : nous aurons, en appelant pt le rayon vecteur qui correspond à un azimut ç>, et c% un paramètre arbitraire,

p2x=Kcl; puis, en vertu de (20 bis),

enfin, en appelant .r et v les coordonnées o, cos<p et pt sinç d'un point de la courbe,

dette ligne est donc une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont tangentes aux sections principales. Elle joue pour les paramètres de déviation le même rôle que l'indicatrice pour les rayons de courbure.

813. On peut déterminer le paramètre de déviation à l'aide de l'indicatrice; car, si Ton appelle v l'angle formé par la normale à cette courbe en un point avec le ravon vecteur, on a

Remplaçant a2 et b2 par leurs valeurs (7), et le produit xy par pasin<pcos<p, p étant comme précédemment le rayon vecteur de l'indicatrice, on obtient

tan8v== T^ïï7^P2sinf cos?' ou bien

tang,= -iR(ïï--ïî-)sin2?.

Enfin, eu égard à l'équation (20),

tang, = -R-*(<), K = - Rcott\

(*) Cette formule a été donnée par M. Alings : De superficierum curvatura; Groningac, 1849. D'après un théorème de Maclaurin (Traité des fluxions, CXI) récomment rappelé par M. P. Serrct (Des méthodes en Géométrie), on a

3R COte= -|rr>

R et v ayant les significations indiquées dans le texte, et R' étant le rayon de courbure de la déve-

l\ LIVRE Mil. - COURBURE DES SURFACES.

81 4. Considérons une surface du second ordre (fig. 334); soient il sa section par l'un de ses plans principaux que nous prenons pour plan vertical de projection, et M'C la normale au sommet (M, M') : si par un point m infiniment voisin de M on fait passer un plan DE parallèle à celui de la section £2, il coupera la surface suivant une conique dont les axes ne différeront des axes de ft que de quantités infiniment petites du second ordre (art. 777), et dont par conséquent la projection verticale devra être regardée comme confondue avec û, si Ton n'a égard qu'aux infiniment petits du premier ordre. Le point m de l'espace se projette donc en un point m' de iî, et la projection de la normale à la surface au point m est la normale à il en ce point m' infiniment rapproché de M'; elle passe ainsi au centre de courbure C de il pour le point M'; nous concluons de là que la normale à la surface au point m infiniment rapproché de (M, M'), et d'ailleurs quelconque, rencontre la perpendiculaire au plan de il qui passe au centre de courbure C; elle rencontre aussi et par la même raison la droite qui est perpendiculaire au plan de la seconde section principale en M, et qui passe par le centre de courbure de cette section.

On reconnaît d'après cela, par la considération d'une surface du second ordre osculatrice en un de ses sommets, que toutes les normales à une surface aux points infiniment voisins d'un point donné rencontrent les deux droites qui passent respectivement par les centres des sections principales et qui sont perpendiculaires à leurs plans. Nous appellerons ces droites axes de déviation (f ).

Courbure des sections obliques et de la section par le plan tangent.

815. T/iëoivmr de Meusnier. — Nous allons maintenant chercher comment on peut déterminer le rayon de courbure d'une section oblique, quand on connaît le rayon de courbure de la section normale qui lui est tangente, et l'angle des plans de ces courbes. Nous supposerons d'abord que la section oblique est tangente à une section principale.

Soient

()(] la normale à une surface en un point 0 (fig. 33j>); i> la section de cette surface par un plan principal P;

loppoc (le l'indicatrice. Introduisant cette valeur décote dans l'équation du paramétre de désiation. on tr.»u\e

On peut déduire de ces d verses formules des constructions assez simples pour le paramètre K. ( ! ) Ce théorème est du à Sturm (Comptes rendus, premier semestre 1 8 4 5 ) . La démonstration que nous en présentons est de M. Mannheim.