CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

m un point situé sur Q à une dislance infiniment petite de 0;

t*> une section de la surface par un plan Q contenant les points 0 et m.

La normale à la surface au point m est dans le plan P, et le point G où elle rencontre la normale OC est le centre de courbure de la section principale ù.

Les normales à la section oblique w en cbacun des points 0 et m sont les projections sur le plan Q des normales indéfinies à la surface en ces points (art. 46). Le centre de courbure c de &>, point de rencontre des deux normales aux points 0 et m9 est donc la projection sur le plan Q du point C, centre de courbure de la section principale Lï.

Si le plan P est un plan normal en 0 et d'ailleurs quelconque, la normale ii la surface en m sera une droite /wN située hors de ce plan, et ses projections mi) et me sur P et sur Q seront les normales principales aux sections £1 et <o. Mais l'angle de la normale /wN avec le plan P étant infiniment petit, et l'angle N/raO ne différant qu'infiniment peu d'un droit, l'angle compris entre la droite me et la projection de mC sur Q est infiniment petit du second ordre. La normale principale à la section oblique &> au point //i est donc la projection de la normale principale à la section il au même point. Par conséquent, le rayon de courbure en un point d'une section oblique d'une surface est la projection du rayon de courbure en ce point de la section normale tangente à la section oblique y quelle que soit la position de cette dernière par rapport aux plans principaux. Ce théorème est dû à Meusnier (').

Si l'on appelle r et R les rayons de courbure au même point d'une section oblique et delà section normale tangente, et 7 l'angle de leurs plans, on aura

(2-3) r = Reosy.

Tous les raisonnements qui précèdent peuvent être appliqués à une courbe gauche. Le plan Q est alors le plan osculateur de la courbe au point considéré.

816. Courbure de la section par le plan tangent. — Si la section oblique est tangente à une asymptote de l'indicatrice, R est infini, et par suite r est également

(*) Mémoire sur In courbure des surfaces {Savants étrangers, 1776).

Si l'on voulait uno démonstration plus minutieuse, on pourrait remarquer que, sans faire aucune hypothèse sur l'angle quo le plan Q fait avec le plan P normal en 0 et d'ailleurs quelconque (J/g. 337), on peut obtenir, comme à l'article 817, l'équation

cosN/wFcosF/wO = cosN/wGcosGwO.

Les différents angles qui entrent dans cotto formule ont les valeurs indiquées à l'article 817, sauf N/wG qui diffère infiniment peu de 7. L'équation se réduit donc à

E = s cosv,

d'où

r = R cosy.

infini, quelque soit y. Cependant, quand cet angle est droit, c'est-à-dire quand le plan Q est tangent à la surface, la formule (23) donne une valeur indéterminée pour r, et le théorème de Meusnier n'apprend plus rien sur la grandeur du rayon de courbure de la section.

Nous avons démontré à l'article 797 qu'une asymptote de l'indicatrice a un contact d'un ordre moins élevé d'une unité avec la section tangente qu'avec la section normale. Dans le cas général, le contact de la section normale est du second ordre, celui de la section par un plan tangent est par conséquent du premier ordre, et son rayon de courbure a une grandeur finie.

Nous allons parvenir au même résultat par des considérations infinitésimales analogues à celles que nous avons présentées à l'article précédent, et qui auront l'avantage de nous donner une expression du rayon de courbure.