CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

La courbe Q ayant une inflexion en 0, l'angle E est infiniment petit du second ordre; Om et à sont infiniment petites du premier ordre : le rayon p a donc une grandeur finie.

La déviation 5 est donnée par l'équation (21), dans laquelle on doit attribuer à Rune grandeur infinie. On trouve

v-HiR.

En portant cette valeur de 5 dans l'équation que nous venons d'obtenir et remarquant que Om est la valeur désignée par a, on a

Ey-KiH,

Enfin, si |3 est l'ordonnée du point de la courbe û qui correspond a l'abscisse a, on aura, d'après l'équation (2),

et, par suite,

ap\/-R,U,

817 a. Cette formule est nouvelle; nous croyons en conséquence qu'il n'est pas sans intérêt de la confirmer par une démonstration analytique. La surface étant représenlée par l'équation

nous appelons suivant l'usage/?, 7, r, ... les dérivées partielles -7-, -^ > -j~~*'

Nous désignons par n la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec l'axe des abscisses la projection de l'une des asymptotes de l'indicatrice au point considéré. On a

(a) tri*-+- 25/1 -+• r = 0.

*'> y 9 ~ étant les coordonnées variables, l'asymptote est délerminée par les équations

dont la première représente le plan tangent.

On reconnaît facilement que l'équation d'un plan passant par cette asymptote de l'indicatrice est

(h) (p - /.) ^-X) 4- (// 4- £) (/-/) - (*'- Z) =Of

h étant une conslanle arbitraire; quand elle est nulle, le plan devient tangent.

L'équalion (b) représentera la courbe d'intersection de la surface par le plan qui contient l'asymptote de l'indicatrice, si Ton y considères' comme une fonction de œ1 et de v' donnée par l'équation de la surface. Alors, différenliant deux fois l'équation (b), nous aurons

('-•-OzH'Œ)'"'^']"*

dv' Lorsque l'on fait x\ y' et z: respectivement égales à r, y et z, -j-^ est égale à n, b»

cPv' second terme de l'équation (d) disparait en vertu de l'équation (a), et -7—5 est nulle;

d* y' si cependant k est nulle, c'est-à-dire si le plan est tangent, -j-^t se présente sous la

forme indéterminée -• o

d* y' Pour avoir dans ce cas la valeur de ~r-r^ il faut différentier l'équation (d) en y considérant cette quantité comme constante. On obtient

«■> ('*'£)£Hi"(£),*-(£),--(£hi*H

Si maintenant nous faisons .v', y' et z' égales à .r, >' et z, les équations (c) et (<?) nous donneront

dY'

M , 0 (V* ■+■ «'/1-4- uni 4- 77 u

du:'* s 4- //*

En appelant p le rayon de courbure de la section de la surface par son plan tangent, et en supposant que ce plan a été pris pour plan des xy9 nous aurons

- tv*3 4- \vn- 4- ///// 4- -s u On a, en négligeant les ternies à partir des infiuimenl petits du quatrième» ordre,