CHAPITRE I. — THEORIE GENERALE

p et q sont nulles parce que Je plan tangent contient les axes des x et des y. Si nous don-

dy nons à -f- la valeur n qui détermine l'asymptote considérée de l'indicatrice, le second

terme disparaîtra, dz sera la quantité que nous avons appelée ?, et nous aurons

2 J3 =z ( - r/i* -+- tvn* -+- 1///1 4- ^ « 1 dx%. L'équation (/) deviendra par suite

ou bien

(rf.r»-H n*dx*y(s-h tn)

Mais la quantité ^dx*-t- rtdx* ou ydx* + dy* est la longueur a : donc

Supposons maintenant que l'axe des abscisses touche la section principale dont le rayon est Rt; nous aurons

r=o, t=Ki> *=v/-ir1;

ces valeurs portées dans l'équation (g) donnent l'équation (24).

818. Nous avons vu à l'article 816 que toute section tangente à une asymptote de l'indicatrice a un contact du second ordre, au moins, avec cette droite, sauf dans le cas où son plan est tangent. Il résulte de là que quand une courbe tracée sur une surface a, en un point, un contact du premier ordre avec une des deux asymptotes de l'indicatrice, son plan osculateur en ce point est tangent à la surface.

Cette proposition est la réciproque d'un théorème que nous avons établi à l'article 797.

819. Nous avons démontré, a l'article 474 (*), que le rapport des rayons de courbure en deux points correspondants d'une ligne tracée sur une surface développable et de sa transformée par développement est égal au cosinus de l'angle que forme le plan osculateur de la ligne avec le plan tangent à la surface. Cette proposition est une conséquence du théorème de Meusnier.

Lorsqu'on développe une développable, les points d'une courbe il tracée sur cette surface décrivent des trajectoires qui sont toujours normales au plan de

(») Dans la socondo édition de la douxièmo Partie, p. 62, ligno 10, il faut lire : rr-, = cosN; ligne 1 i. il faut lire : est egfd au cosinus. (E. L. )

3o LIVRE VIII. — COURBURE DES SURFACES.

développement, et qui forment une surface dont la section par un plan tangent à la développable est une transformée de la courbe primitive. La courbe iî et sa transformée appartiennent donc à une même surface, et la seconde de ces lignes est une section normale qui touche la première au point où elle rencontre la génératrice de contact du plan tangent avec la développable. On voit que le théorème de Meusnier peut être appliqué : il donne immédiatement la proposition que nous avons rappelée.

Définition des lignes de courbure et des lignes asymptotiques.

820. Lorsque l'on passe d'un point d'une surface à un point infiniment voisin, les positions du plan tangent et des plans des sections principales varient infiniment peu; il en résulte que Ton peut tracer deux séries de courbes tangentes en chacun de leurs points a une des deux sections principales de la surface en ce point. Car, si, en partant d'un point 0, on considère sur une des sections principales un point infiniment voisin 0', à ce dernier point passeront deux nouvelles sections principales, dont l'une fera un angle infiniment petit avec l'arc 00'; on peut suivre celle-là, y prendre un point 0" infiniment voisin de 0' et, continuant ainsi, on obtient une ligne qui satisfait k la condition énoncée.

On appelle lignes de courbure d'une surface les lignes qui sont tangentes en chacun de leurs points à l'une des sections principales. D'après ce que nous venons de voir, et les propriétés des sections principales, il passe à chaque point de la surface deux lignes de courbure qui se croisent à angle droit (f).

De tous les points d'une surface infiniment voisins d'un point considéré, ceux qui appartiennent aux sections principales sont les seuls pour lesquels la déviation soit nulle. Il en résulte que les normales à une surface en tous les points d'une ligne de courbure Jorment une développable, et que le lieu de ces droites serait une surface gauche, si la courbe directrice n'était pas une ligne de courbure.

Ch. Dupin a considéré des lignes asymptotiques tangentes en chacun de leurs points à l'une des deux asymptotes de l'indicatrice de la surface.

Ces lignes font mieux connaître la courbure de la surface que les lignes de courbure, car elles déterminent, outre la direction des sections principales, le rapport des rayons principaux; mais elles ne sont réelles que sur les surfaces à courbures opposées.

( ' ) La théorie des lignos de courbure est due à Mongo, Mémoire sur les déblais et les remblais Histoire de V Académie, 1781); Application de V Analyse à la Géométrie, XV et XVI.