CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE. 3l

Notions sur la courbure des surfaces de révolution.

821. Les normales à une surface de révolution en deux points consécutifs d'un méridien sont dans le plan de cette courbe; un méridien / [fig. 336) est donc une section principale en l'un quelconque de ses points tel que 0', et son rayon de courbure O'E est l'un des deux rayons de courbure principaux de la surface.

Le plan de la seconde section principale est perpendiculaire au plan méridien, et par suite cette section est tangente au parallèle. Comme d'ailleurs la perpendiculaire O'C abaissée sur l'axe A'Z est le rayon du parallèle, on voit, d'après le

O'f théorème de Meusnier, que le rayon de la section normale tangente est — wivv

ou O'F.

En résumé, les deux rayons de courbure principaux d'une surface de révolution, en un point, sont le rayon de la méridienne et le segment compris sur la normale entre le point considéré et l'axe ( ' ).

Quand la méridienne présente sa convexité à l'axe, les rayons O'E et O'F sont de signes contraires, et par suite la surface esta courbures opposées. Lorsque1 la concavité de la méridienne est tournée vers Taxe, comme cela a lieu au point O'i, les rayons O^F, et 0',E, sont de même signe, et la surface est convexe.

Aux points d'inflexion tels que 0'2, et aux points tels que 0'3 pour lesquels la normale est parallèle à l'axe de révolution, l'un des rayons de courbure est infini. Chacun des parallèles décrits par les points 0'2 et 0'3 sépare donc une partie de la surface où les indicatrices sont des ellipses, d'une partie où les indicatrices sont des hyperboles. Le théorème de l'article 805 pouvait faire prévoir ce résultat pour le parallèle du point 0'3, car, en tous les points de ce cercle, la surface est tangente au plan qui le contient.

822. Nous allons maintenant déterminer les asvmptotes de l'indicatrice au point (0, 0') {fig. 336).

Nous considérons un hyperboloïde ayant un sommet en ce point, et y étant osculateur de la surface. Nous pouvons placer son centre en un point quelconque de la normale EF; nous choisissons le point F, et alors l'hyperboloïde est de révolution (art. 798) : le rayon du cercle de gorge est FO', et l'axe la droite F/ parallèle à la tangente O'K'. La longueur de l'axe non transverse F/ est le double de la droite O'K', moyenne proportionnelle entre les rayons O'E et O'F (art. 794).

(!) Ces résultats ont été donnés pour la première fois par Meusnier, dans le Mémoire déjà cité à l'article 815.

Les asymptotes de l'hyperbole méridienne sont les droites FK' et FL'. On obtient l'indicatrice de la surface de révolution au point (0, 0'), en transportant parallèlement à elle-même, dans le plan tangent L'K\ l'hyperbole méridienne contenue dans le plan F/parallèle au plan tangent en 0'; par conséquent, si Ton mène parles points K' et 1/ des droites perpendiculaires au plan vertical, et ayant une longueur égale à O'F, leurs extrémités seront sur les asymptotes cherchées. Nous projetons K' en K, nous prenons les segments KU et KV égaux à O'F : les asymptotes de l'indicatrice sont (OU, O'K') et (OV, O'K').

Ces droites, en tournant autour de l'axe (A, A'Z), engendrent un hyperboloïde de révolution osculateur de la surface en tous les points du parallèle décrit par (0,0'). Mais cet hyperboloïde n'a pas son centre sur la normale EF, et par suite il n'appartient pas à la série des hyperboloïdes osculateurs en un de leurs sommets. ,

825. Si le point (0, 0') parcourt la méridienne /, les asymptotes de l'indicatrice pour ses différentes positions formeront une surface gauche. Les arcs de (a méridienne qui présentent leur convexité à Taxe seront utiles et doubles sur cette surface; les autres seront parasites. Les asymptotes de l'indicatrice se confondent au point d'inflexion 0'2 avec la tangente à la méridienne, et au point supérieur 03 avec la tangente au parallèle : ces points seront des sommets de la surface gauche.

Chacune des deux nappes qui se coupent le long de l'arc 0'20'3 est tangente à la surface de révolution; ces nappes sont donc tangentes Tune à l'autre, et par suite la courbe / est, sur la surface gauche, une ligne double de contact.

La courbe d'intersection ç> d'une surface de révolution par un plan BC tangent à la méridienne/, en un point d'inflexion (M, M') fjig. 33c)), a pour tangente en ce point la droite BC que l'on doit regarder comme une asymptote unique de l'indicatrice. La courbe est d'ailleurs composée de deux parties symétriques par rapport à (MA, MB), et par suite elle a un rebroussement de premier ordre.

Notions sur la courbure des surfaces gauches.

82i. Toute surface gauche est à courbyres opposées, car en chacun de ses points son plan tangent la coupe suivant une génératrice et une courbe (art. 617). La génératrice et la tangente à la courbe d'intersection sont les deux asymptotes de l'indicatrice (art. 797). Les bissectrices des angles de ces droites sont les traces des plans des sections principales sur le plan tangent. On peut, par conséquent, construire les sections principales en un point donné et déterminer ensuite leurs rayons de courbure (art. 105). Nous avons vu que le rapport des grandeurs absolues de ces ravons est égal au carré de la tangente de la moitié