CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

de l'angle compris entre les asymptotes de l'indicatrice (art. 796). Cette proposition permet de déterminer un des rayons quand on a obtenu l'autre.

825. Considérons deux génératrices G et G' d'une surface gauche; nous savons qu'il existe un hyperboloïde dans lequel ces droites sont des génératrices d'un même système, et qui se raccorde avec la surface le long de l'une d'elles (1 (art. 741). Si l'on suppose que G' se rapproche de G et finisse par se confondre avec cette droite, l'hyperboloïde deviendra osculateur le long de G; les génératrices du second système seront alors, avec la génératrice G, les asymptotes des indicatrices aux différents points de G; d'où ce théorème : les secondes asymptotes des indicatrices d' une surface gauche, aux différents points d'une génératrice, forment un hyperboloïde osculateur de la surface le long de cette génératrice.

Lorsque la génératrice considérée et les deux qui lui sont infiniment voisines sont parallèles à un même plan, l'hyperboloïde se transforme en un paraboloïde. Cette circonstance se présente toujours quand la surface a un plan directeur.

Si l'on connaît les secondes asymptotes des indicatrices en trois points d'une génératrice, l'hyperboloïde osculateur le long de cette droite sera déterminé, et l'on pourra construire la deuxième asymptote de l'indicatrice de l'un quelconque des points de la génératrice considérée (art. 744).

826. Soient AX une génératrice d'une surface gauche (fîg. 34o), BX, la génératrice voisine et AB leur commune perpendiculaire. Par un point quelconque 0 de la génératrice AX, nous faisons passer un plan perpendiculaire à AX et par conséquent normal à la surface; il coupe la génératrice BX, en un point N qui se projette en P sur le plan central de AX (art. 622).

Le trièdre (NP, NB, NO) rectangle le long de NP donne

cotNO = cotBî^sinPNO.

Les droites NB et NO déterminent le plan tangent au point N infiniment voisin de 0; la déviation 5 au point N est l'angle que la normale NE perpendiculaire au plan BNO fait avec le plan PNO, ou le complément de l'angle que ces deux plans comprennent, et que nous avons désigné par NO dans la formule précédente. L'angle BNP est le complément de l'angle NBP ou <7 que forment les deux génératrices AX et BX,. Enfin l'angle PNO est le complément de l'obliquité NOP ou 0 du plan tangent en 0.

D'après ces remarques, l'équation ci-dessus devient

tango* = tang<7COs6;

et, comme les angles S et <j sont infiniment petits,

0' = (7C0S& III. — De la GontxERiE. — - Descriptive.

3'l LIVRE VIII. — COURBURE DES SURFACES.

Le rayon de courbure de la génératrice étant infini, on a, en vertu de l'équation (21),

On obtient par suite, en remarquant qu'on doit attribuer à a la grandeur ON

Ol>

ou — A> cosO

<72COS*0 = — iî-ÎT'

Si nous appelons k le paramètre de la génératrice (art. 623), OP sera égal à kç9 et nous aurons

Nous avons d'ailleurs (art. 622), en appelant x l'abscisse AO,

tangtf = ^«

L'élimination de 6 entre ces deux équations donne

(a6) R,Ra=-(^,y (•).

II résulte des observations que nous avons présentées à l'article 776 que, quand on déforme une surface gaucbe sans en courber les génératrices, les points centraux ne sont pas déplacés, et les paramètres ne sont pas modifiés. On voit d'après cela, parla formule que nous venons d'obtenir, que quand on déforme une surface gauche, le produit des rayons de courbure principaux en chaque point reste le même. Ce produit est infini quand la surface est développable (a).

(!) Nous croyons quo cotto formule est duo à M. Lamarle {Théorie géométrique des centres et tlvs tues instantanés de rotation). On en déduit par les procédés du Calcul intégral le résultat suivant signalé par Bour {Théorie de la déformation des surfaces) :

Si Ton élève on chaque point d'une génératrico d'une surface gaucho et dans un plan quelconque une ordonnée égale à l'inverse de la racine carréo du produit des rayons principaux prise positivement, on aura une courbe asymptotique do la génératrice (^fig. 345), et dont la forme dépendra de la grandeur du paramètre k; mais l'aire totale comprise entre la courbo et son asymptote est indépendante do /• et égale à 77, do sorte quo la courbo s'éloigne d'autant plus de la génératrico qu'elle est restée plus longtemps confonduo avec elle. (Làjtg. 3 {5 est extraite du Mémoire do Bour.)

(*) Gauss a établi d'une manière générale que, quand on déforme une surface flexible et inextensible, le produit des rayons de courbure principaux en chaque point reste le mémo. Liouville a reproduit lo Mémoiro du célèbre géomètre, et des démonstrations spéciales du théorème dues à Puiscux et à M. J. Bortrand, dans les notes de la 5* édition do Y Application de l'Analyse de Monge. Dans soi Expose géométrique, M. Lamarle a établi le théorème par des considérations do Cinématique.