CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

827. Quand deux surfaces gauches S et S, se raccordent le long d'une droite G, cette génératrice a le même paramètre et le même point central sur les deux surfaces (art. 625); par conséquent, et en vertu de l'équation (26), en chacun de ses points, les produits des rayons de courbure des surfaces sont égaux.

Les hyperboloïdes A et A,, osculateurs des surfaces S et S, le long de la génératrice G, se coupent, en général, suivant deux droites P et Q qui rencontrent G en des points M et N (art. 733). Les indicatrices des surfaces ont les mêmes asymptotes en ces points, et par suite les rayons de courbure principaux y sont dans des rapports égaux; mais nous venons de voir qu'il y a égalité entre les produits de ces rayons : leurs grandeurs sont donc les mêmes, et les surfaces S et S, sont osculatrices aux points M et N.

Celui des hyperboloïdes qui est intérieur à l'autre d'un côté de la génératrice P devient extérieur de l'autre côté. Par conséquent, si l'on coupe les surfaces S et S, par des plans parallèles entre eux et à la droite P, les sections de l'une des surfaces, S par exemple, auront d'un côté du point M des rayons de courbure plus petits que ceux des sections de S,, et de l'autre, plus grands. Les surfaces se coupent donc suivant une courbe tangente a chaque droite d'intersection des hyperboloïdes, seconde asymptote de l'indicatrice d'un point d'oseulation.

Nous voyons ainsi que, quand deux surfaces gauches se raccordent le long d'une génératrice, elles se coupent, en général, suivant une courbe qui rencontre la droite de contact en deux points, et que les surfaces sont osculatrices en ces points.

Lignes d'ombre d'une surface gauche quand le point lumineux est dans le plan tangent le long d'une génératrice singulière. — Rayons de courbure de la surface aux divers points de ecttc droite.

828. Les questions que nous allons examiner ont de l'importance à plusieurs points do vue, principalement pour les exercices graphiques relatifs aux lignes d'ombre des surfaces gauches. Nous emploierons le Calcul différentiel, qui nous paraît utile pour introduire dans cette étude la clarté désirable.

Nous avons vu dans le VII0 Livre qu'une surface gauche peut avoir des génératrices singulières le long de chacune desquelles elle est touchée par un môme plan. Deux génératrices consécutives se rencontrent alors en un point que nous avons appelé sommet (art. 629). Toutes les lignes d'ombre de la surface passent à chaque sommet (art. 634).

Lorsque le point lumineux est dans le plan tangent le long d'une génératrice singulière, cette droite fait partie de la ligne d'ombre : c'est la branche qui passe au sommet. Une autre branche, qui forme la courbe d'ombre proprement dite, rencontre les diverses génératrices (art. 617), et traverse nécessairement la droite suivant laquelle le plan touche la surface. Nous allons déterminer le point où elle coupe cette génératrice.

829. Nous représentons la génératrice d'une surface gauche par les équations

Ci) V7=M.r-+-P, z — Njt-4-0,

M, X, P et Q étant des fonctions d'une même variable a» Nous désignerons par M', N\ ..., M", X", ... les dérivées premières et secondes de M, N, ....

Le plan qui passe par la génératrice considérée et par un point fixe (tf, 6, c) a pour

équation

(N« H- Q - c) (Mjt + P — v) - (Ma -+- P - b) (X.* + Q — s) = o.

L'enveloppe de ce plan, quand on fait varier «, est le cône dont le sommet est au point fixe et qui est circonscrit à la surface. Les coordonnées du point de la génératrice où le plan touche la surface satisfont donc à la dérivée de son équation prise par rapport à « :

(X'tf -+- Q') (M.r -+- P - y) + (Nff4-Q- c) (M'.r + P') — (M'a -+- P')(Nx- -+- Q -';)-(M« -+- P - &)(N'.r -4- Q') =0.

En éliminant/ et z entre cette équation et les équations (1), on obtient l'abscisse du point où le plan touche la surface, c'est-à-dire du point de la génératrice où passe la courbe d'ombre, quand le point fixe est lumineux,

P'(X<7-f-Q — c)-Q'(lVl«-hP — b)

(2) X ~~ M' ("Sa -f- Q - c) - X' (Ma + P - b)'

830. Nous appelons Mlf X,, ..., M't, ... les valeurs que prennent M, X, ..., M', ... quand on donne à a une certaine valeur «,. Nous voulons que la génératrice qui correspond à *i se confonde avec l'axe des abscisses, que le plan des xy touche la surface le long de cette droite, et que l'origine des coordonnées soit le point de rencontre des deux génératrices consécutives. En vertu de la première condition, M,, X,, I\ et Qt sont nulles. La génératrice infiniment voisine de celle qui coïncide avec Taxe des abscisses a pour équations

Pour que cette droite soit dans le plan des xyt il faut que Xj et Q', soient nulles. Enfin, la troisième condition exige que P'j soit égale à zéro. Nous avons donc

(3) M, = o, N| = o, P, — o, Ql = o, X',^0, V\ = o, Q', = o.

831. Quand le point lumineux (af b, c) est dans le plan langent le long de la génératrice singulière qui est confondue avec l'axe des abscisses, c est nulle; l'équation (2), qui détermine l'abscisse du point où la ligne d'ombre rencontre la génératrice (1), se réduit il

œ ~ M' (iN a +- Q ) — \\M a + V-b)'

Si nous faisons a égale à a,, la valeur de x se présente sous une forme indéterminée mais, en prenant les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient

Nous posons

(4) rr— —5i.