CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

Si b n'est pas nulle, l'équation que nous avons trouvée donne

La longueur g est indépendante des coordonnées a et b; par conséquent, quelle que soit la position du point lumineux dans le plan tangent le long d'une génératrice singulière, mais non sur elle, la ligne d'ombre passe par un même point de cette droite.

Quand la génératrice infiniment voisine de 'celles qui se coupent est parallèle à leur plan, qui est ici le plan des xy, N", est nulle, et le point commun aux lignes d'ombre que nous considérons s'éloigne à l'infini. Cetle circonstance se présente toujours pour les génératrices singulières des surfaces à plan directeur.

832. Le plan des xy rencontre les différentes génératrices, et par conséquent coupe la surface. Il est intéressant de déterminer le point où la ligne d'intersection traverse l'axe des abscisses.

Si Ton conserve les infiniment petits du deuxième ordre, la seconde équation de la génératrice infiniment voisine de celle que l'on considère sera

:=[N + N'tfa -+- l N"rfa*\r -+- ^Q-i-Q'i/a-i-^ Q'tfa'Y

Quand % est égale à *lf cette équaCion devient, en vertu des égalités (3),

En supposant z nulle, on trouve pour l'abscisse la valeur g. Le point d'une génératrice singulière oà passent les lignes d'ombre, quand les points lumineux sont dans le plan langent le long de cette droite, est donc précisément celui qui appartient à l'intersection de la sur/ace par ce plan tangent.

On pouvait prévoir ce résultat, car, sur une surface gauche, une courbe d'ombre est le lieu des points où les différentes génératrices sont rencontrées par les intersections de la surlace avec les plans qui contiennent respectivement ces droites et qui passent au point lumineux.

833. Nous avons vu (art. 751) que la surface du biais passé a deux sommets, (I, 0') et (J, 0') (fig. 32o). Les plans tangents le long des génératrices (ÏA, O'A') et (JD, O'D') qui passent à ces points sont verticaux. Leurs lignes d'intersection avec la surface n'ont pas été tracées sur la figure : ce sont des paraboles qui coupent respectivement les génératrices singulières aux points (R, IV) et (S, S') (art. 771). Chacun de ces points est donc celui par lequel passeraient toutes lignes d'ombre, si un point lumineux occupait successivement différentes positions dans le plan AC ou dans le plan RD. Nous savons, en effet, que les points (R, R') et (S, S') appartiennent à la ligne de contour apparent par rapport au plan horizontal (art. 759) : cette ligne est la courbe de contact d'un cône circonscrit dont le sommet situé à l'infini peut être indifféremment supposé dans le plan AC ou dans le plan RD.

834. Lorsque le point lumineux*est sur la génératrice singulière elle-même, on a

b = o, c =. o, et l'équation (2) se réduit à

P'(Na + Q) — Q'fllg + P)