X- M'lNa-+-Q) — N'(Ma-hP

x est indéterminée, quand on attribue à a la valeur at. En prenant les dérivées des deux termes de la fraction, on trouve

__' P" (Na -h Q) 4- P' (N'a -h Q') — Qy(Ma -h P) - Qf{Wa-h P') X- M'r(Na4-Q)-hM'(N,a^Q')-N'(Ma + P)-N/(M/a--+-P')'

L'introduction des valeurs (3) annule encore le numérateur et le dénominateur; mais, si Ton prend de nouveau les dérivées, et si Ton supprime les termes que l'hypothèse a = 34 fait disparaître, au fur et à mesure qu'ils se présentent, on obtient après quelques réductions

x- aQ'« ■

-N'.a + W d'où, en ayant égard à l'équation (4),

Soient EX la génératrice singulière (fig. ^22 bis); S, G, 0 les points où elle est rencontrée par la génératrice voisine, par l'intersection du plan tangent avec la surface et par la ligne d'ombre; enfin, A le point lumineux. L'équation (6) donne

(7) h0- SG + SA'

Ou déduit successivement de cette équation

SA(SG — SO) 4- SG(SA — SO) = o, SA x OG — SG x AO = o,

(to SA.OA

(8) SG-ÔG-"1'

Il résulte de cette équation que, quand le point lumineux est sur la génératrice singulière, le point de la courbe d'ombre et le sommet de la sur/ace sont conjugués harmoniques du point lumineux et du point ou la génératrice rencontre V intersection de la surface par son plan tangent (art. 51V) (,).

Quand la génératrice infiniment voisine de celles qui se rencontrent au sommet est parallèle à leur plan, le point G est à l'infini (art. 831), et l'on voit par l'équation (7) que le segment SO est double de SA. Ainsi, lorsqu'un point lumineux est sur la génératrice supérieure (NE, N'E') d'un conoïde (fig» 299), il se trouve à égales distances du point où la ligne d'ombre traverse cette droite et du sommet (N, N').

833. Considérations sur les changements de forme des courbes d'ombre, — Nous avons vu (art. 831 et 83V) que, quand le point lumineux est clans le plan tangent à la surface gauche, le long de la génératrice singulière EX (fig. {\22bis), la courbe d'ombre

l l) On déduit do l'équation (7)