CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

passe par le point G de celte droite, et que, quand le point lumineux est sur la génératrice elle-même, la courbe d'ombre la traverse en un point distinct de G. Il est intéressant d'étudier comment se fait la transition entre ces deux formes.

Supposons d'abord que la surface ait un plan directeur : le point G est à l'infini (art. 831). Lorsque le point lumineux se rapproche de la génératrice singulière, les deux bras qui s'étendent à l'infini se resserrent contre cette droite; à la limite ils se réunissent à elle, et la ligne d'ombre comprend une seconde fois la génératrice singulière. On conçoit facilement que la partie qui reste courbe peut traverser la génératrice ailleurs qu'à l'infini.

Quand la surface gauche n'a pas de plan directeur, le plan tangent le long d'une génératrice, singulière telle que EX (fig. faibis) est tangent à l'infini; il touche donc la développable asymptote (art. 639). On reconnaît, en considérant le mode de génération de la développable, que la ligne de contact est précisément la génératrice EX. Nous donnerons d'ailleurs une démonstration analytique de ce théorème à l'article suivant.

Si le point lumineux est dans le plan tangent le long de la génératrice singulière EX, et peu éloigné d'elle, on pourra mener par ce point un second plan tangent à la développable asymptote, et par suite la courbe d'ombre a une branche infinie correspondant à une génératrice voisine de la génératrice singulière EX (art. 7V7). Lorsque le point lumineux supposé mobile arrive sur cette dernière droite, les deux bras de la branche infinie se réunissent à elle, et l'on retrouve les mêmes circonstances que quand la surface a un plan directeur.

Nous voyons qu1 une génératrice rectiligne appartient deux fois à la courbe d'ombre, quand elle contient le point lumineux, et quand un même plan est tangent à la surface en tous ses points.

836. Proposons-nous de déterminer la génératrice de la développable asymptote qui est parallèle à la génératrice représentée par les équations (1).

m étant un coefficient arbitraire, l'équation d'un plan contenant la génératrice (1) est

(y — Mx — P) — m(z — N.r — Q) = o.

Pour que ce plan soit tangent à l'infini, il faut qu'il soit parallèle à la génératrice infiniment voisine de celle que nous considérons. Les équations de celte génératrice sont

y = (M -f- to'd*)x 4- (P 4- P' d*)f c=(N +N'<fc).r-H(Q + Q'</x).

La condition du parallélisme donne

M'-wN'no.

L'équation du plan passant par la génératrice considérée et tangent à l'infini est par suite

La génératrice de la développable est l'intersection de ce plan parle plan que représente la dérivée de l'équation précédente prise par rapporta a. On trouve, pour cette dérivée, après quelques réductions,

/jO LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

Si maintenant nous supposons a égale à a,, nous trouvons, en introduisant les valeurs (3) dans les équations (9) et (10),

z=zot N\y-M\z = o9

ou bien

Lu première de ces équations, qui représente le plan tangent à la développante asymptote, montre que ce plan est celui qui louche la surface gauche le long de la génératrice EX, comme nous le savions déjà; on voit par la seconde que la génératrice EX appartient à la développable. Ainsi, quand une sur/ace gauche a un sommet à distance finie, elle est touchée par sa développable asymptote tout le long de la génératrice qui passe à ce point.

Si cependant la génératrice infiniment voisine de celles qui se rencontrent est parallèle à leur plan, N'i est nulle, et la seconde équation ne fait plus connaître la position que la génératrice de la développable occupe dans le plan tangent. Pour déterminer celle droite, il faudrait d'abord éliminer z entre les équations (9) et (10), puis chercher par les procédés ordinaires les valeurs des grandeurs indéterminées que les hypothèses (3) introduisent dans la formule. Nous croyons peu utile de nous arrêter à ces détails, et nous nous bornons à rappeler que, quand la surface a un plan directeur, la développable asynitote disparaît tout entière à l'infini (art. 6V1).

837. Rayons de courbure d'une sur/ace gauche aux différents points d%une génératrice singulière. — Nous allons maintenant chercher la grandeur du rayon de courbure de la section faite dans la surface gauche par un plan perpendiculaire à la génératrice singulière. Si nous diiïérentions les équations (1) en y considérant l'abscisse x comme constante, et les deux autres coordonnées comme fonctions de a, nous aurons

tf/ = (M'*4-P')«fa, dz = ($'x + Q')rf*. <Fy = (M'tf-+-P')rfas, d*z = (N'jr 4- Q')d*\

Eu introduisant ces valeurs dans l'expression générale du rayon de courbure

un obtient

(£fr'H-<fea)*

drd'z — dzd*}''

,..* H [(M'.r-ï-P')'-h(N'.r-hQ')«r

; ~ ^>|'.r h- P') (N** 4- Q") - (H'jr H- Q') (N*.r 4- P"*) '

Lorsque * est égale à *,, en vertu des égalités (3), l'équation (11) se réduit à

Nj-r + Q, On peut la mettre soiis la forme

.r et II sont l'abscisse et l'ordonnée, parallèle à l'axe des z, du centre de courbure de la section considérée. L'équation que nous venons d'obtenir montre que les centres de