CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. /j

courbure des sections faites dans une surface gauche par des plans perpendiculaires à une génératrice singulière ont pour lieu une hyperbole.

L'une des asymptotes G H (fig. 422 bis) passe par le point G que nous avons défini précédemment (art. 83i) ; elle est perpendiculaire à la génératrice EX. L'autre asymptote El rencontre cette droite à une distance du sommet S égale à SG ; son coefficient angulaire

est -^j-. La courbe est langenle à la génératrice au point S; nous savons que la section

qui passe à ce point a un rebroussement (art. 666).

838. La génératrice singulière est, en chacun de ses points, une section principale de la surface; la seconde section principale est la courbe qui a pour rayon R. Au point G ce rayon est infini, cortime le premier rayon de courbure; la surface y est donc osculée par un plan. Ainsi, le plan tangent à une surface gauche le long d'une génératrice singulière est oscillateur au point où se rencontrent les lignes suivant lesquelles il coupe et il touche la surface. L'hyperbole A montre qu'un second point d'oscillation se trouve en général à l'infini.

839. Si dans l'équation (i3) nous remplaçons g par sa valeur (4), nous aurons

Quand la génératrice infiniment voisine de celles qui se rencontrent est parallèle à leur plan, N| est nulle, l'équation perd son second terme, et la courbe qu'elle représente devient une parabole.

Il est facile de vérifier ce résultat sur le conoïde droit. Si la section perpendiculaire à la génératrice est une ellipse ayant un de ses sommets sur cette droite, et telle que l'axe qui aboutit à ce sommet soit parallèle à la directrice rectiligne, cet axe aura une longueur constante (2/?), tandis que la longueur de l'autre axe sera proportionnelle à l'abscisse du plan de la courbe (inx). Le rayon de courbure ( — x* ) sera donc proportionnel au carré de l'abscisse.

840. Le point G peut occuper toutes les positions sur la génératrice; quand il coïncide avec le sommet S, g est nulle, et l'équation (i3) représente deux droites qui se croisent à l'origine, Tune oblique, l'autre perpendiculaire à l'axe des abscisses. Les centres de toutes les sections perpendiculaires à la génératrice ont pour lieu l'une de ces droites, la première. Il résulte de là que la surface peut être osculée par des cônes le long de la génératrice. Ce cas est celui des- développables (art. 451). Le plan tangent le long de la génératrice doit donc être osculateur en S, et par suite il se confond avec le plan derebroussement. Ces deux plans sont ordinairement distincts, comme on le voit par l'exemple du conoïde de la fig. 299 (art. 666)

La seconde droite déterminée par l'équation (i3), quand g est nulle, donne une infinité de centres de courbure pour la section qui a un rebroussement, Ce résultat en apparence paradoxal peut être assez facilement expliqué. Nous avons vu (art. W2) que toute droite située dans le plan d'une courbe plane et passant à un point de rebroussement peut être considérée comme tangente. On peut de môme regarder comme tangent tout cercle tracé dans le plan de la courbe et passant par le point de rebroussement. Si, de plus, un cercle louche la tangente de rebroussement, on pourra le considérer comme ayant avec la courbe trois points communs réunis en un seul.

Cette explication résulte directement de l'examen des circonstances géométriques de la question. Quand le segment SG devient nul (fig. 422 bis), une infinité de cercles oscu-

lateurs à des sections différentes deviennent tangents entre eux et à la tangente de rebroussement de la section qui passe par le point S.

Dans le cas général, lorsque g n'est pas nulle, l'hyperbole A ne donne pour la section qui contient le point S d'autre centre de courbure que ce point lui-même; mais il faut remarquer que nous avons fait disparaître de l'équation (12) le facteurs qui était commun aux deux termes de la fraction, et que cette équation donne en réalité une longueur indéterminée au rayon de courbure de la section dont l'abscisse est nulle. Le lieu complet des centres de courbure des secondes sections principales le long de la génératrice singulière se compose donc de l'hyperbole A et de la perpendiculaire au plan de rebroussement menée par le sommet S.

84-1. Rayons de courbure d'une sur/ace gauche le long d'une arête. — Nous allons maintenant supposer que la génératrice singulière est une arête (art. 635). Nous plaçons l'origine en un point quelconque de cette droite, qui sera comme précédemment Taxe des abscisses; le plan tangent à la surface est pris pour plan des xy.

La génératrice infiniment voisine de l'arête est parallèle à cette droite, par suite M, est nulle et P\ ne l'est pas. Les conditions exprimées par les égalités (3) deviennent donc

04) M1=of n, = <>, p,=o, q1=:o, m; = o, n;=o, q; = o.

L'équation (11) donne alors

d'où

IVir + Q;'

(i5) n; rx + q\ r — p;s =0,

On voit que l'hyperbole, lieu des centres de courbure des secondes sections principales, est équilatère; l'arête GX est une de ses asymptotes (Jig. 4a3 bis), son centre se trouve au point d'oscillation G qui devient un point central pour les courbures. Enfin, le rayon de courbure de la section principale au point situé à l'infini est nul; on peut facilement vérifier ce résultat, dans le cas du conoïde droit, par un raisonnement analogue à celui de l'article 839.

Quand le point lumineux A est sur l'arête GX, le point 0 de la courbe d'ombre est le milieu du segment AG, car, le point S étant à l'infini, le rapport de SA à SG est égal à l'unité, et l'équation (8) montre que OA et OG sont égales et de signes contraires.

84-2. Quand le paramètre d'une arête a une longueur finie, le plan tangent le long de cette génératrice est perpendiculaire à son plan central (art. 677). D'après cela, si nous considérons trois génératrices consécutives dont les deux premières soient parallèles et horizontales, la commune perpendiculaire à la seconde et à la troisième devra être verticale, pour qu'à la limite les trois droites se réunissent de manière à former une arête du genre de celle que nous considérons. La troisième génératrice est donc horizontale comme les deux autres, et par suite nous devons ajouter aux égalités (i£) la condition

N "1 = o ; l'équation (ij) donne alors

OS