CH.VPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

On voit que le rayon de courbure de la seconde section principale est constant; d'où il résuite que, lorsqu'une surface gauche possède une arête ayant un paramètre fini, elle est ose idée par un cylindre le long de cette droite,

843. On peut facilement vérifier, pour le cylindroïde de la fig. 298, le théorème que nous venons de démontrer.

Le plan vertical OM coupe la surface suivant une ellipse dont les axes sont respectivement égaux à — .. . et à «',«' (art. 650). Le rayon de courbure de cette ellipse au sommet (M, M'), qui appartient à l'arête (a A, a' A'), est donc

r- cosMOI.

al

Cette section est oblique; la section normale qui lui est tangente se trouve dans un plan

vertical parallèle à 1J. D'après le théorème de Meusnier, son rayon de courbure déduit du — *

précédent est — p- On voit qu'il ne dépend pas de la position du point (M, M') sur

l'arête (Àa, A' a'), et que par suite, en tous les points de cette droite, les rayons de courbure des sections faites par des plans verticaux parallèles à 1J sont les mômes : la surface est donc osculée par un cylindre le long de l'arête.

On trouve, par le théorème d'Euler, que le rayon de courbure de la seconde section principale, en l'un quelconque des points de l'arête considérée, est

—r sin'aTA'.

844. Construction de l'hyperbole lieu des centres de courbure aux divers points d'une génératrice singulière. — Lorsque l'on connaît sur une génératrice singulière le sommet et le point où la surface est osculée par un plan, il suffit d'obtenir le rayon de courbure de la seconde section principale en un point, pour qu'on puisse construire l'hyperbole s lieu des centres de courbure. Or il sera toujours possible de faire cette détermination à l'aide des directrices.

Si l'on considère la génératrice singulière (BD, B'D') {fig. 3ao), nous savons que le sommet est (J, 0') et le point d'osculalion (S, S'). La directrice circulaire (CD, CD') est tangente en (D, D') à la seconde section principale; on obtiendra donc immédiatement le rayon de courbure de cette section, par les Iracés auxquels conduit le théorème de Meusnier. On pourra ensuite construire l'hyperbole.

Dans le cas d'une arête, il suffit de connaître le point où la surface est osculée par un plan et le rayon de courbure de la seconde section principale en un point. S'il s'agit de l'arête (/*7,/>V) CA#* 32Ô), le point d'osculation estsonintersectioa(0,0') avec la directrice rectiligne. On obtient d'ailleurs le rayon de courbure de la seconde section principale pour le point (q, q')y par une construction inverse de celle qui est expliquée à l'article 800, en remarquant que la directrice circulaire est la section par un plan normal dont on peut aisément déterminer les angles avec les plans principaux.

Surfaces gauches lieux de normales à une surface.

845. Avant d'étudier les surfaces qui font l'objet de ce paragraphe, nous allons faire connaître une construction très simple, qui nous sera fort utile, pour déterminer le point central et le paramètre de distribution d'une génératrice d'une surface gauche, lorsque les plans tangents à la surface en trois points de cette droite sont donnés (* ).

Par le point central A d'une génératrice DX {fig. l\i!\ bis) et dans un plan quelconque, nous élevons à cette droite une perpendiculaire AA' égale au paramètre de distribution k; en joignant le point A' à un point quelconque B de la génératrice, nous aurons

tangAA'B=^.

L'angle ÀÂ'B est donc égal à celui que le plan tangent en B fait avec le plan central (2). L'angle BA'C, différence des deux angles AA'C et AA'B, est par conséquent égal à celui que comprennent les plans tangents aux deux points B et C.

Si Von élève à une génératrice d'une surface gauche et par son point central une perpendiculaire égale au paramétre de distribution, i angle sous lequel on voit de l'extrémité de cette droite un segment quelconque de la génératrice est égal à V angle que comprennent les plans tangents à la surface aux deux extrémités du segment.

Quand on connaît les plans tangents en trois points 0, B et C, on obtient le point A' en décrivant sur les longueurs OB et OC des segments capables des angles que forment les plans tangents en B et en C avec le plan tangent en 0. La perpendiculaire A'A donne ensuite le paramètre k et le point central A.

846. Nous joignons le point A' à un point quelconque 0 de la génératrice, nous traçons la droite A'P perpendiculaire à OA' et les droites OY, BB' etCC perpendiculaires à OX; le quadrilatère OxVB'B a ses sommets sur un cercle, car les angles opposés A' et B sont droits. Les angles A' OB' et AA'B, ayant pour mesure la moitié des segments interceptés dans ce cercle par les parallèles AA' et BB', sont égaux; les angles A'OC et AA'C sont aussi égaux; par suite, il y a égalité entre les angles B'OC et BA'C, sous lesquels on voit des points 0 et A' un segment quelconque B C de la droite PQ, et sa projection BC sur la génératrice.

(!; Cette construction et son application aux surfaces lieux de normales sont dues à M. Mannheim (voir dans le journal l'Institut les séances de la Société philomathiquo des 2, 23 avril et 7 mai 1 864 )• Nous avons ajouté la détermination du produit des rayons de courbure (art. 8i7), la construction du paramètre de déviation (art. 851), et diverses considérations peu importantes.

(*) Nous avons déjà établi celte proposition à l'article (>26.