En opérant comme à l'article précédent, on trouve
surf. NaO N, = surf.N.OQ - surf. N2OQ, ON, x ON, = ON, x OQ cos<p - ONa x OQ sinç»,
■ R|Rt = R, x OQ - R2 x OQ,
sinçcosf ' * ^
^ = -Ki~è)8în2*-
En rapprochant ce résultat de l'équation (20 bis) de l'article 812, on reconnaît que la longueur OQ est égale au paramètre de déviation relatif à l'angle y; mais, d'après l'article 847, cette longueur est moyenne' proportionnelle entre les rayons de courbure de la surface gauche au point 0; nous voyons donc que la grandeur absolue du produit des rayons de courbure de la surface des normales \ en un point de son intersection avec la surface directrice, est égale au carré du paramétre de déviation qui correspond à l'azimut de cette courbe ( ' ).
852. Le plan central de la génératrice OZ et le plan ZOX sont tangents l'un en A, l'autre en C2 à la surface des normales : l'angle aigu qu'ils comprennent est donc égal à N2OA' (art. 846). Nous avons immédiatement
tangNaOA'=^, tangQOA'=^.
On déduit de ces équations
tangN2OQ =
N,QxOA' ÔÂ'Va'I^xA'q'
tangNaOQtangN2OA'= A.Mm ^^g^l^x AQ'
tangN2OQtangN2OA' = ^.
La droite 0N2 qui correspond au plan ZOX est l'origine commune des angles N20Q et N2OA'; ces angles sont par suite de signes contraires. Le second
membre de l'équation est égal à la quantité — qui, dans la disposition adoptée sur la figure, est positive ; nous avons donc
tangptangN2OA'= — ^*
( l ) Le paramètre de déviation n'est autre que le rayon de seconde courbure de A lorsque cette courbe est une ligne géodésique de 2. (Le rayon de seconde courbure d'une courbe gauche est le rappor d'un arc infiniment petit de cette courbe, à l'angle que font entre eux les plans oscillateurs aux extrémités de cet arc. ) (Mannheim.)
Nous voyons que les azimuts <p et N2OA\ qui sont mesurés à partir du plan principal ZOX, correspondent à deux diamètres conjugués de l'indicatrice de la surface 2. •
La tangente à la trace de la surface des normales et la trace du plan central d'une de ses génératrices, sur le plan tangent à la surface directrice, sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice de cette dernière ( 4 ).
Si Ton veut éyiter de considérer des angles négatifs, il faut prendre pour azimut de la direction conjuguée à OT le supplément de N2OA'.
853. La construction expliquée a l'article 849 nous a fait trouver le rayon de courbure OC d'une section normale, la longueur OQ du paramètre de déviation et l'azimut N2OA' de la droite conjuguée à la tangente OT. Cette construction a donc, en dehors de la considération des surfaces normales, une importance réelle dans les problèmes d'application relatifs a la courbure des surfaces, lorsque l'on connaît les plans et les rayons de courbure des sections principales.
Si l'on mesure les abscisses positives de 0 vers Q, le paramètre de déviation sera de signe contraire à l'abscisse OQ.
Si l'on fait les tracés sur le plan tangent, pour la construction de l'azimut N2OA', il faudra mener la droite ON2 dans la direction OX, la droite OQ sera la tangente OT, et la droite OA' se trouvera dans la direction conjuguée à OT.
85i. Les plans ZOX et ZOY (fig. 354 bis) étant rectangulaires, l'angle sous lequel on voit du point A' le segment de la normale compris entre leurs points de contacte, et C2 est droit (art. 845). Il résulte de la que si l'azimut <p de la courbe A passe par toutes les grandeurs possibles, le lieu des positions du point A' sera le cercle décrit sur le segment C,C2 comme diamètre. Le point central A est toujours compris entre les points C, et C2; il atteint l'une ou l'autre de ces positions extrêmes, quand la tangente OT est confondue avec OX ou avec OY; le paramètre est alors nul, OZ est une génératrice singulière de la surface gauche, et un sommet se trouve au point C, ou au point C2.
A deux valeurs de ? égales et de signes contraires correspondent un même point central et deux paramètres égaux et de signes contraires. Les valeurs limites du
paramètre sont les rayons GG' et GG'f {fig. 353 bis), ou ± — J-
Pour avoir la grandeur de l'azimut lorsque le paramètre est GG', il suffit de faire en ordre inverse les constructions expliquées à l'article 8i9. Nous traçons le rayon vecteur OG\ sa perpendiculaire IG'N2etla droite ON2 : l'angle N2OX est égal à $, L'équation que nous avons obtenue à l'article précédent devient
tangptangN2OG'=- ^;
(■) Ce théorème a déjà été donné par plusieurs géomètres.
