CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE

mais la droite OG' est la bissectrice de l'angle droit N, ON2 ; nous avons donc

tangy^dip-.

Nous mettons le double signe, parce que nous considérons les deux surfaces qui ont pour paramètres GG' et GG', .

On peut concevoir, sur une surface, des courbes directrices pour lesquelles, en chaque point, la valeur de k soit un maximum en grandeur absolue. Ces lignes sont toujours réelles; elles forment deux séries : Tune correspond aux valeurs positives de k, l'autre aux valeurs négatives.

855. D'après ce que nous avons vu à l'article 847, la longueur C,E, est moyenne proportionnelle entre les rayons de courbure principaux au point C, {fig. 354 bis); il en est de même du segment C2E2 pour les rayons correspondant au point C2. On trouve d'ailleurs

donc

r „ AVxQC, r p AA'xÇCt.

ljt til — cTX ' ^2tj* — cTÂ '

C,EIxC2E2 = C2CI = (R,-R2)2

Le produit des rayons de courbure principaux de la surface gauche aux points C, et C2 est indépendant de V angle <p et égal à la quatrième puissance de la différence des rayons principaux de la surface directrice.

856. Lorsque les rayons R, et R2 sont de signes contraires, les points C, et C2 sont situés de part et d'autre du point 0. Si, alors, la courbe A devient tangente à une asymptote de l'indicatrice, le rayon de courbure OC est infini, la droite N,N2 est parallèle à OZ [fig. 338 bis), et par suite le point A' est sur OX, et le point central en 0.

Quand la directrice A est tangente à une asymptote de l'indicatrice, le point central de la génératrice normale est son intersection avec la surface 2. Si A est une ligne asymptotique de 2, c'est aussi la ligne de striction de la surface gauctie lieu des normales.

Le segment OA' est moyen proportionnel d'une part entre les rayons principaux de la surface gauche au point 0 (art. 847), de l'autre entre les rayons OC, et 0C2 : donc le produit des rayons de courbure est le même au point 0, pour la surface gauche normale et pour la surface directrice, dans le cas qui nous occupe. On peut déduire ce théorème de celui de l'article 851.

857. A l'aide de la fig. 354 bis, on peut établir de nombreuses équations entre l'azimut?, le rayon de courbure Rde la section normale qui lui correspond dans la surface 2, le paramètre de déviation K, le paramètre k de la généra-

5o LIVRE VIII. — COURBURE DES SURFACES.

tricc OZ, l'ordonnée OA de son point central, et le produit des rayons de courbure principaux en un point donné de cette droite (' ). Nous ne nous arrêterons pas k ces détails, et nous nous bornerons a appeler l'attention sur deux cas qui présentent quelque intérêt.

Quand le point 0 est un ombilic, le cercle C,C2 se réduit a un point, le paramètre k est toujours nul, l'ordonnée du point central est constante et égale au rayon de la sphère osculatrice.

Lorsque le rayon R2 est infini, la droite N2C2 s'éloigne à l'infini, le cercle C,C, se confond avec la droite C,N,, le point A' se place en N,, et la droite auxiliaire est parallèle à ON2. On a alors

k = l\ltangf.

L'ordonnée du point central est constante et égale à R,. Ces circonstances se présentent toujours lorsque 2 est une surface développablc.

858. Quand on veut étudier les relations qui existent entre deux surfaces gauches lieux de normales à une même surface, aux différents points de deux courbes issues d'un même point, il faut établir simultanément sur la figure les deux droites auxiliaires qui correspondent aux azimuts de ces directrices.

L'azimut ç> d'une directrice A étant XON2 (Jîg. 338), la droite auxiliaire sera N,N2. Nous projetons les points N, et N2 en M2 et M,, et nous traçons M(M2, OM, et OM2. On a immédiatement

tangXOM2 = - cotZOM2 = -™± = --^=--- J*i •

tangy langXOMg = — rp

L'angle XOM2 qui détermine le point M2 est donc celui de la direction conjuguée à y dans l'indicatrice, et, comme le môme raisonnement peut être appliqué aux angles XON, ctXOM, (2), nous voyons que les droites N,N2 etM,M2 sont les droites auxiliaires pour les surfaces gauches qui correspondent à deux directrices dont les tangentes en 0 sont conjuguées.

La normale OZ fait des angles égaux avec les droites M,M2 et N,N2, et par suite avec leurs perpendiculaires OA' et OB'. Il résulte de là que les segments OB' et OB', sont égaux.

(1) Plusieurs des formules que l'on peut obtenir ainsi ont été données par Joachimslal (Journal de M. Liouvillct 1848), ou par M. Lamarle (Expose géométrique), qui les ont trouvées par d'autres procédés.

(2) Cette observation nous dispense de prouver que l'angle MiOM«, est droit, co qui du reste est facile.