APPLICATIONS DIVERSES

Construction des rayons de courbure et des plans osculateurs d'une courbe donnée par ses projections.

859. Cas où la tangente à la courbe au point considéré est parallèle à la ligne de terre. — • Soient w et &>' les projections de la courbe (/ig. 340 ; (O» 0') un point de cette ligne où la tangente est parallèle à la ligne de terre XY; A et B les centres de courbure des projections w et <*>'.

Nous prenons un second plan vertical xy perpendiculaire à XY, et nous y plaçons la projection o du point (0, 0').

Les sections faites dans les cylindres projetants par les plans normaux contenant la tangente à la courbe au point (0,0') sont identiques à w et &>'; leurs centres de courbure sont a et b sur le plan xy.

D'après le théorème de Meusnier, le centre de courbure de la courbe en (0, 0') est la projection, sur son plan osculateur, de chacun des points a et b ; la droite ab est donc une projetante sur ce plan, et par suite, en lui abaissant une perpendiculaire du point o, on obtient la trace oN du plan osculateur. Le point c, projection des points a et 6, est le centre de courbure de («, &>'). La longueur du rayon de courbure est oc.

860. Cas où la tangente à la courbe au point considéré ( 0, 0' ) est parallèle à l'un des deux plans de projection seulement, celui qui est horizontal, par exemple. Nous déterminons les centres de courbure A et B des projections u et »' {fig. 342); nous prenons un second plan vertical ^perpendiculaire à la tangente à la courbe gauche au point (0, 0'), nous y plaçons la projection o de ce point, et le centre de courbure a de la section faite dans le cylindre vertical « par un plan normal à cette surface et tangent à la courbe. Au point (0,0'), le plan vertical OV est normal au cylindre projetant co'; lorsque nous aurons déterminé le rayon de courbure de la section qu'il contient, le problème sera ramené à celui que nous avons résolu à l'article précédent.

Les deux sections principales du cylindre horizontal au point (0, 0') sont la génératrice et la section droite contenue dans le plan OX, (art. 801). Le rayon de courbure de la première est infini, celui de la seconde est O'B. Nous trouvons la longueur 0B3 du rayon de courbure de la section contenue dans le plan OV, par la construction expliquée a la fin de l'article 800; nous portons la longueur 0B3 en cbz, et nous achevons les tracés sans difficulté.

861. Cas général. — Lorsque la tangente à la courbe au point considéré (0, 0') (Jtg. 343) a une position quelconque par rapport au plan de projection, il faut d'abord déterminer les rayons de courbure des sections faites dans les cylindres projetants, par des plans normaux contenant la tangente (OM, O'M').

Nous rabattons sur le plan horizontal le plan (MM', M'O') qui touche le cvlindre horizontal au point (0,0'); ce point se place en 0lf et par suite les tangentes à la section droite et à la courbe (co, to') sont rabattues sur les droites 0,0 et 0,M. En prenant une longueur 0,B, égale au rayon de courbure O'B de a/, et traçant les droites B, B2 ctB2B3 respectivement perpendiculaires à 0,M et à 0,G, nous obtenons le rayon de courbure 0,B3 de la section normale tangente à la courbe (co, co').

Le plan tangent au cylindre vertical étant rabattu autour de sa trace OM, le point (0, 0') se place en un point 0a facile à déterminer, et les rabattements des tangentes à la section droite et à la courbe (co, co') sont la droite 02£, parallèle à MO, et la droite 02M. Nous connaissons d'ailleurs le rayon de courbure OA de la section droite, nous pouvons donc déterminer la longueur 02A3 du rayon de courbure de la section normale tangente à la courbe (co, co').

Faisons maintenant passer par le point (0,0') un plan perpendiculaire à la tangente (OM, O'M'), et rabattons-le sur le plan horizontal. La trace horizontale de ce plan est une droite xy parallèle à OA, et passant au point P déterminé par la droite 02P perpendiculaire au rabattement M02 de la tangente. Dans le rabattement du plan, le point (0, 0) se place en o à une distance de P égale à P02.

Les normales aux deux cylindres sont dans ce plan : l'une (OQ, O'Q') a sa trace horizontale au point Q, et est rabattue sur la droite Qo; l'autre étant hori-